Вправа 20.26 — ГДЗ Алгебра 9 клас Істер
Вправа 20.26. Знайдіть кількість членів геометричної прогресії $(b_n)$, якщо:
- $b_1 = 15$, $q = 2$, $S_n = 945$;
- $b_1 = 2$, $b_n = 128$, $S_n = 254$;
- $q = 3$, $b_n = 486$, $S_n = 726$.
1) $b_1 = 15$, $q = 2$, $S_n = 945$
$15 \cdot \dfrac{2^n - 1}{2 - 1} = 945$.
$2^n - 1 = 63$.
$2^n = 64 = 2^6$.
$n = 6$.
2) $b_1 = 2$, $b_n = 128$, $S_n = 254$
$b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$, $2q^{n-1} = 128$, $q^{n-1} = 64$.
$S_n = \dfrac{2(q^n - 1)}{q - 1} =$
$= \dfrac{2(q \cdot q^{n-1} - 1)}{q - 1} =$
$= \dfrac{2(64q - 1)}{q - 1} = 254$.
$64q - 1 = 127(q - 1)$.
$64q - 1 = 127q - 127$.
$63q = 126$.
$q = 2$.
$2^{n-1} = 64 = 2^6$.
$n - 1 = 6$, $n = 7$.
3) $q = 3$, $b_n = 486$, $S_n = 726$
$S_n = \dfrac{q \cdot b_n - b_1}{q - 1}$.
$726 = \dfrac{3 \cdot 486 - b_1}{3 - 1} = \dfrac{1458 - b_1}{2}$.
$1458 - b_1 = 1452$.
$b_1 = 6$.
$b_1 \cdot 3^{n-1} = 486$, $6 \cdot 3^{n-1} = 486$, $3^{n-1} = 81 = 3^4$.
$n - 1 = 4$, $n = 5$.
Сума через перший і останній члени
$S_n = \dfrac{q \cdot b_n - b_1}{q - 1}$, $q \neq 1$.
Виводиться з $S_n = b_1(q^n-1)/(q-1)$ підстановкою $b_1 q^n = q \cdot b_n$.
Степені двійки і трійки
$2^6 = 64$, $2^7 = 128$, $2^8 = 256$.
$3^3 = 27$, $3^4 = 81$, $3^5 = 243$, $3^6 = 729$.
Три різних підходи до знаходження $n$. У (1) відомі $b_1$ і $q$ — пряма підстановка в $S_n$. У (2) відомий $b_n$, але не $q$ — спочатку знаходимо $q$ через підстановку $q^n = q \cdot q^{n-1}$. У (3) відомий $b_n$ без $b_1$ — зручна формула $S_n = (q b_n - b_1)/(q-1)$ для знаходження $b_1$, а потім $n$.
Формула $S_n = (qb_n - b_1)/(q-1)$ у (3). Виведення: $b_1 q^n = b_1 \cdot q \cdot q^{n-1} = q \cdot (b_1 q^{n-1}) = q \cdot b_n$. Тому $S_n = (b_1 q^n - b_1)/(q-1) = (q b_n - b_1)/(q-1)$. Корисна, коли $b_n$ задано, а $b_1$ — ні.
Перевірка (3). $b_1=6$, $q=3$: $6;\;18;\;54;\;162;\;486$. $b_5=486$ ✓. $S_5=6(3^5-1)/2=6\cdot242/2=726$ ✓.
Часті помилки. 1) У (2) написати $q^{n-1}=64$, знайти $q=2$, і зупинитися — ще потрібно $n$. 2) У (3) підставити $b_n=486$ замість $q\cdot b_n=1458$ в чисельник формули. 3) Не пам'ятати $3^4=81$ і довго ділити $486/6=81$ — краще знати напам'ять.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.