Вправа 20.29 — ГДЗ Алгебра 9 клас Істер
Вправа 20.29. Обчисліть:
$\left(\dfrac{\sqrt{7}+3}{\sqrt{7}-3} - \dfrac{\sqrt{7}-3}{\sqrt{7}+3}\right)^2$.
$\left(\dfrac{\sqrt{7}+3}{\sqrt{7}-3} - \dfrac{\sqrt{7}-3}{\sqrt{7}+3}\right)^2 =$
$= \left(\dfrac{(\sqrt{7}+3)^2 - (\sqrt{7}-3)^2}{(\sqrt{7}-3)(\sqrt{7}+3)}\right)^2 =$
$= \left(\dfrac{((\sqrt{7}+3) - (\sqrt{7}-3))((\sqrt{7}+3) + (\sqrt{7}-3))}{(\sqrt{7})^2 - 3^2}\right)^2 =$
$= \left(\dfrac{(\sqrt{7}+3 - \sqrt{7}+3)(\sqrt{7}+3 + \sqrt{7}-3)}{7 - 9}\right)^2 =$
$= \left(\dfrac{6 \cdot 2\sqrt{7}}{-2}\right)^2 = \left(\dfrac{12\sqrt{7}}{-2}\right)^2 = \left(-6\sqrt{7}\right)^2 =$
$= (-6)^2 \cdot (\sqrt{7})^2 = 36 \cdot 7 = 252$.
Різниця квадратів
$a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.
Різниця дробів — спільний знаменник
$\dfrac{a}{b} - \dfrac{b}{a} = \dfrac{a^2 - b^2}{ab}$.
Добуток спряжених
$(\sqrt{n}-k)(\sqrt{n}+k) = n - k^2$.
Ключ — зведення до спільного знаменника. Виразок $a/b - b/a$ має спільний знаменник $ab$. Чисельник $a^2-b^2$ розкладається через різницю квадратів: $(a-b)(a+b)$. Це дозволяє не рахувати $(\sqrt{7}+3)^2$ і $(\sqrt{7}-3)^2$ окремо.
Чому обчислюємо суму і різницю окремо. $(a+b) = 2\sqrt{7}$ і $(a-b) = 6$ — обидва без ірраціональності. Добуток $(a+b)(a-b) = 12\sqrt{7}$ залишається ірраціональним, але в зручному вигляді.
Знак знаменника. $(\sqrt{7}-3)(\sqrt{7}+3) = 7-9 = -2 < 0$. Це нормально — після квадратування результат стає додатним: $(-6\sqrt{7})^2 = 36 \cdot 7 = 252 > 0$.
Часті помилки. 1) Розкрити $(\sqrt{7}+3)^2 = 7+9+6\sqrt{7}$ і $(\sqrt{7}-3)^2$ окремо — значно довший шлях. 2) Забути, що $(-6\sqrt{7})^2 = 36 \cdot 7$, написати $252$ відразу без проміжного кроку — ризик помилки знаку.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.