Вправа 20.3 — ГДЗ Алгебра 9 клас Істер
Вправа 20.3. Знайдіть суму шести перших членів геометричної прогресії $(b_n)$, якщо:
- $b_1 = 81$, $\; q = \dfrac{1}{3}$;
- $b_1 = -17$, $\; q = -2$;
- $b_1 = 32$, $\; q = -\dfrac{1}{2}$;
- $b_1 = 5\sqrt{2}$, $\; q = \sqrt{2}$.
1) $b_1 = 81$, $\; q = \dfrac{1}{3}$
$S_6 = \dfrac{81\left(\left(\dfrac{1}{3}\right)^6 - 1\right)}{\dfrac{1}{3} - 1} = \dfrac{81 \cdot \left(\dfrac{1}{729} - 1\right)}{-\dfrac{2}{3}} =$
$= \dfrac{81 \cdot \left(-\dfrac{728}{729}\right)}{-\dfrac{2}{3}} = \dfrac{\dfrac{728}{9}}{\dfrac{2}{3}} = \dfrac{728}{9} \cdot \dfrac{3}{2} = \dfrac{364}{3}$.
2) $b_1 = -17$, $\; q = -2$
$S_6 = \dfrac{-17\left((-2)^6 - 1\right)}{-2 - 1} = $
$ =\dfrac{-17 \cdot 63}{-3} = \dfrac{17 \cdot 63}{3} = 17 \cdot 21 = 357$.
3) $b_1 = 32$, $\; q = -\dfrac{1}{2}$
$S_6 = \dfrac{32\left(\left(-\dfrac{1}{2}\right)^6 - 1\right)}{-\dfrac{1}{2} - 1} = \dfrac{32 \cdot \left(\dfrac{1}{64} - 1\right)}{-\dfrac{3}{2}} =$
$= \dfrac{32 \cdot \left(-\dfrac{63}{64}\right)}{-\dfrac{3}{2}} = \dfrac{\dfrac{63}{2}}{\dfrac{3}{2}} = \dfrac{63}{2} \cdot \dfrac{2}{3} = 21$.
4) $b_1 = 5\sqrt{2}$, $\; q = \sqrt{2}$
$(\sqrt{2})^6 = 2^3 = 8$.
$S_6 = \dfrac{5\sqrt{2}(8 - 1)}{\sqrt{2} - 1} = \dfrac{35\sqrt{2}}{\sqrt{2} - 1}=$
$= \dfrac{35\sqrt{2}(\sqrt{2} + 1)}{(\sqrt{2})^2 - 1} =$
$= \dfrac{35\sqrt{2}(\sqrt{2} + 1)}{1} = 35(2 + \sqrt{2}) = 70 + 35\sqrt{2}$.
Сума $n$ перших членів ГП
$S_n = \dfrac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$, $q \neq 1$.
Раціоналізація знаменника
$\dfrac{A}{\sqrt{2}-1} = \dfrac{A(\sqrt{2}+1)}{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)} = \dfrac{A(\sqrt{2}+1)}{1}$.
П. 1) — перевірка підсумовуванням. $81 + 27 + 9 + 3 + 1 + \tfrac{1}{3} = 121\tfrac{1}{3} = \dfrac{364}{3}$ ✓.
П. 3) — перевірка. $32 - 16 + 8 - 4 + 2 - 1 = 21$ ✓.
П. 4) — раціоналізація. Знаменник $\sqrt{2}-1$ ірраціональний — множимо чисельник і знаменник на $\sqrt{2}+1$. Знаменник стає $(\sqrt{2})^2 - 1^2 = 1$.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.