Вправа 20.31 — ГДЗ Алгебра 9 клас Істер
Вправа 20.31. Доведіть, що значення виразу
$\dfrac{a-20}{(a-5)^2} : \left(\dfrac{a}{a^2-25} - \dfrac{a-8}{a^2-10a+25}\right)$
є додатним, якщо $a < -5$.
$\dfrac{a-20}{(a-5)^2} : \left(\dfrac{a}{a^2-25} - \dfrac{a-8}{a^2-10a+25}\right) =$
$= \dfrac{a-20}{(a-5)^2} : \left(\dfrac{a}{(a-5)(a+5)} - \dfrac{a-8}{(a-5)^2}\right) =$
$= \dfrac{a-20}{(a-5)^2} : \dfrac{a(a-5) - (a-8)(a+5)}{(a-5)^2(a+5)} =$
$= \dfrac{a-20}{(a-5)^2} : \dfrac{a^2 - 5a - (a^2 + 5a - 8a - 40)}{(a-5)^2(a+5)} =$
$= \dfrac{a-20}{(a-5)^2} : \dfrac{a^2 - 5a - a^2 + 3a + 40}{(a-5)^2(a+5)} =$
$= \dfrac{a-20}{(a-5)^2} : \dfrac{-2a + 40}{(a-5)^2(a+5)} =$
$= \dfrac{a-20}{(a-5)^2} : \dfrac{-2(a-20)}{(a-5)^2(a+5)} =$
$= \dfrac{a-20}{(a-5)^2} \cdot \dfrac{(a-5)^2(a+5)}{-2(a-20)} = \dfrac{a+5}{-2} = -\dfrac{a+5}{2}$.
Оцінимо знак отриманого виразу, якщо $a < -5$:
якщо $a < -5$, то $a + 5 < 0$, звідси $-\dfrac{a+5}{2} > 0$. $\blacksquare$
Розкладання знаменників
$a^2 - 25 = (a-5)(a+5)$.
$a^2 - 10a + 25 = (a-5)^2$.
Ділення дробу на дріб
$A \div B = A \cdot \dfrac{1}{B}$. Спільний множник $(a-20)$ скорочується.
Знак виразу
$a < -5 \Rightarrow a+5 < 0 \Rightarrow -(a+5) > 0 \Rightarrow -\dfrac{a+5}{2} > 0$.
Стратегія: спростити, потім оцінити знак. Пряме доведення знаку складного виразу — важко. Набагато простіше: спростити до $-(a+5)/2$ і тоді показати, що при $a < -5$ це додатне.
Спільний множник $(a-20)$ скорочується. Він є і в чисельнику першого дробу, і в чисельнику дробу-дільника. При $a < -5$ маємо $a \neq 20$, тому скорочення законне.
Область допустимих значень. При $a < -5$: $(a-5)^2 > 0$ ✓; $(a+5) \neq 0$ (бо $a \neq -5$) ✓; $(a-20) \neq 0$ ✓. Вираз визначений на всій заданій множині.
Знак добутку $(a-8)(a+5)$. При розкритті: $(a-8)(a+5) = a^2 + 5a - 8a - 40 = a^2 - 3a - 40$. Мінус перед дужкою змінює знаки всіх членів: $-(a^2 - 3a - 40) = -a^2 + 3a + 40$.
Часті помилки. 1) Не розкласти $a^2-10a+25$ в $(a-5)^2$ — взяти $(a+5)(a-5)$ помилково. 2) При зведенні до спільного знаменника не помітити, що НСЗ = $(a-5)^2(a+5)$, а не $(a-5)(a+5)$.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.