Вправа 20.32 — ГДЗ Алгебра 9 клас Істер
Вправа 20.32. Розв'яжіть систему рівнянь:
$\begin{cases} \dfrac{y}{2x} - \dfrac{x}{y} = \dfrac{1}{2}, \\[8pt] y^2 - 5xy + 2x^2 = 32. \end{cases}$
Множимо перше рівняння на спільний знаменник $2xy$ за умови, що $x \neq 0$ і $y \neq 0$:
$y^2 - 2x^2 = xy$
$y^2 - xy - 2x^2 = 0$
$(y - 2x)(y + x) = 0$
Звідси маємо два випадки: $y = 2x$ або $y = -x$.
Підставимо ці значення у друге рівняння системи послідовно:
1) Якщо $y = 2x$:, то:
$(2x)^2 - 5x \cdot 2x + 2x^2 = 32$
$4x^2 - 10x^2 + 2x^2 = 32$
$-4x^2 = 32$
$x^2 = -8$ — дійсних коренів немає (квадрат числа не може бути від'ємним).
2) Якщо $y = -x$, то:
$(-x)^2 - 5x(-x) + 2x^2 = 32$
$x^2 + 5x^2 + 2x^2 = 32$
$8x^2 = 32$
$x^2 = 4$
$x_1 = 2 \Rightarrow y_1 = -2$
$x_2 = -2 \Rightarrow y_2 = 2$
Позбавлення від знаменників
Множимо рівняння на НСЗ знаменників ($2xy$), щоб отримати цілий поліном.
Розкладання квадратного тричлена
$y^2 - xy - 2x^2 = (y - 2x)(y + x)$.
Перевірка: $(y-2x)(y+x) = y^2 + xy - 2xy - 2x^2 = y^2 - xy - 2x^2$ ✓.
Ключовий прийом — перетворення першого рівняння. Множення на $2xy$ прибирає знаменники і дає квадратний тричлен відносно $y/x$. Далі — метод розкладання на множники замість підстановки.
Розкладання $y^2 - xy - 2x^2$. Шукаємо представлення $(y + ax)(y + bx)$ де $ab = -2$, $a+b = -1$: $a=1$, $b=-2$ або навпаки. Тому $(y+x)(y-2x)$.
Перевірка $(2;\,-2)$. Рівн. 1: $\dfrac{-2}{4} - \dfrac{2}{-2} = -\dfrac{1}{2} + 1 = \dfrac{1}{2}$ ✓. Рівн. 2: $4 + 20 + 8 = 32$ ✓.
Чому $y=2x$ не дає розв'язку. Підстановка у друге рівняння дає $-4x^2 = 32$, тобто $x^2 = -8$ — від'ємне число не є квадратом дійсного числа.
Часті помилки. 1) При множенні на $2xy$ написати $y \cdot y - x \cdot 2x = \frac{1}{2} \cdot 2xy$ — неуважність у першому члені: $\frac{y}{2x} \cdot 2xy = y^2$. 2) Розкласти $(y-2x)(y+x)$ неправильно, переплутавши знаки.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.