Вправа 20.34 — ГДЗ Алгебра 9 клас Істер
Вправа 20.34. З пункту $A$ до пункту $B$ виїхав мотоцикліст. Через 2 год в тому самому напрямку виїхав легковик, який прибув до пункту $B$ одночасно з мотоциклістом. Якби мотоцикліст і легковик одночасно виїхали назустріч один одному з пунктів $A$ і $B$, то вони зустрілися б через 1 год 20 хв. За який час кожен з них долає шлях від $A$ до $B$?
Нехай $t$ год — час мотоцикліста від $A$ до $B$, тоді $(t-2)$ год — час легковика; $1$ год $20$ хв $= \dfrac{4}{3}$ год.
$\left(\dfrac{1}{t} + \dfrac{1}{t-2}\right) \cdot \dfrac{4}{3} = 1$.
$\dfrac{1}{t} + \dfrac{1}{t-2} = \dfrac{3}{4}$.
$\dfrac{(t-2)+t}{t(t-2)} = \dfrac{3}{4}$.
$4(2t-2) = 3t(t-2)$.
$8t - 8 = 3t^2 - 6t$.
$3t^2 - 14t + 8 = 0$.
$D = 14^2 - 4 \cdot 3 \cdot 8 = 196 - 96 = 100$.
$t = \dfrac{14 \pm 10}{6}$; $t_1 = 4$, $t_2 = \dfrac{2}{3}$.
$t_2 = \dfrac{2}{3}$: $t - 2 = -\dfrac{4}{3} < 0$ — не задовольняє умову.
$t = 4$ год — мотоцикліст; $t - 2 = 2$ год — легковик.
Формули руху
$v = \dfrac{d}{t}$. Назустріч: швидкість зближення $= v_1 + v_2$.
Складання рівняння
Якщо шлях $d$ один, а часи $t_1$ і $t_2$ — швидкості $d/t_1$ і $d/t_2$. При русі назустріч $(d/t_1 + d/t_2) \cdot \tau = d$, тому $1/t_1 + 1/t_2 = 1/\tau$.
Дискримінант
$D = b^2 - 4ac$; $t_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.
Звідки рівняння $(1/t + 1/(t-2)) \cdot 4/3 = 1$. Позначимо шлях $AB = d$. Швидкість мотоцикліста $d/t$, легковика $d/(t-2)$. Якщо їдуть назустріч, за час $\tau = 4/3$ год разом долають $d$: $(d/t + d/(t-2)) \cdot 4/3 = d$. Ділимо на $d$.
Перевірка. Швидкість мотоцикліста $d/4$, легковика $d/2$. Разом: $d/4 + d/2 = 3d/4$. Час до зустрічі: $d \div (3d/4) = 4/3$ год $= 1$ год $20$ хв ✓. Мотоцикліст їде 4 год, легковик виїхав через 2 год і їде 2 год — прибувають одночасно ✓.
Чому $t_2 = 2/3$ відкидається. При $t = 2/3$ год час легковика $= 2/3 - 2 = -4/3 < 0$ — від'ємний час не має фізичного сенсу.
Часті помилки. 1) Скласти рівняння для швидкостей замість часів, плутаючи $v$ і $t$. 2) Написати $(1/t + 1/t-2) \cdot 4/3 = 1$ без дужок — зміст рівняння хибний. 3) Не перевірити $t_2$ на фізичний сенс і записати обидва корені у відповідь.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.