Вправа 20.6 — ГДЗ Алгебра 9 клас Істер
Вправа 20.6. Знайдіть суму шести перших членів геометричної прогресії:
- $1{,}5;\; 6;\; 24;\; \ldots$
- $-4;\; 2;\; -1;\; \ldots$
- $2;\; 2^2;\; 2^3;\; \ldots$
- $2;\; \sqrt{2};\; 1;\; \ldots$
1) $1{,}5;\; 6;\; 24;\; \ldots$
$q = \dfrac{6}{1{,}5} = 4$.
$S_6 = \dfrac{1{,}5 \cdot (4^6 - 1)}{4 - 1} = $
$= \dfrac{1{,}5 \cdot 4095}{3} = 0{,}5 \cdot 4095 = \dfrac{4095}{2}$.
2) $-4;\; 2;\; -1;\; \ldots$
$q = \dfrac{2}{-4} = -\dfrac{1}{2}$.
$S_6 = \dfrac{-4\left(\left(-\dfrac{1}{2}\right)^6 - 1\right)}{-\dfrac{1}{2} - 1} =$
$= \dfrac{-4 \cdot \left(\dfrac{1}{64} - 1\right)}{-\dfrac{3}{2}} = $
$= \dfrac{-4 \cdot \left(-\dfrac{63}{64}\right)}{-\dfrac{3}{2}} = $
$=\dfrac{\dfrac{63}{16}}{-\dfrac{3}{2}} = -\dfrac{21}{8}$.
3) $2;\; 2^2;\; 2^3;\; \ldots$
$b_1 = 2$, $\; q = 2$.
$S_6 = \dfrac{2(2^6 - 1)}{2 - 1} = 2 \cdot 63 = 126$.
4) $2;\; \sqrt{2};\; 1;\; \ldots$
$q = \dfrac{\sqrt{2}}{2} = \dfrac{1}{\sqrt{2}}$, $\; q^6 = \left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)^6 = \dfrac{1}{8}=$
$S_6 = \dfrac{2\left(\dfrac{1}{8} - 1\right)}{\dfrac{1}{\sqrt{2}} - 1} = \dfrac{-\dfrac{7}{4}}{\dfrac{1-\sqrt{2}}{\sqrt{2}}} = $
$= \dfrac{-\dfrac{7}{4} \cdot \sqrt{2}}{1-\sqrt{2}}$.
$= \dfrac{-\dfrac{7\sqrt{2}}{4}}{1-\sqrt{2}} \cdot \dfrac{1+\sqrt{2}}{1+\sqrt{2}} = $
$ =\dfrac{-\dfrac{7\sqrt{2}}{4}(1+\sqrt{2})}{1-2} = $
$= \dfrac{7\sqrt{2}(1+\sqrt{2})}{4} = \dfrac{7\sqrt{2}+14}{4}$.
Сума $n$ перших членів ГП
$S_n = \dfrac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$, $q \neq 1$.
Раціоналізація знаменника
$\dfrac{A}{1 - \sqrt{2}} \cdot \dfrac{1+\sqrt{2}}{1+\sqrt{2}} = \dfrac{A(1+\sqrt{2})}{1-2} = -A(1+\sqrt{2})$.
П. 2) перевірка. $-4 + 2 - 1 + \tfrac{1}{2} - \tfrac{1}{4} + \tfrac{1}{8} = -2\tfrac{5}{8} = -\dfrac{21}{8}$ ✓.
П. 4) при малій кількості членів — можна просто підсумувати. $2 + \sqrt{2} + 1 + \dfrac{1}{\sqrt{2}} + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2\sqrt{2}} = \dfrac{7}{2} + \dfrac{7\sqrt{2}}{4} = \dfrac{14 + 7\sqrt{2}}{4}$ ✓.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.