Вправа 20.8 — ГДЗ Алгебра 9 клас Істер
Вправа 20.8. Використовуючи формулу $S_n = \dfrac{b_n q - b_1}{q - 1}$, обчисліть суму чисел, що є послідовними членами геометричної прогресії:
- $1 + 3 + 9 + \ldots + 729$;
- $\dfrac{1}{16} + \dfrac{1}{8} + \dfrac{1}{4} + \ldots + 2$.
1) $1 + 3 + 9 + \ldots + 729$
$b_1 = 1$, $\; q = 3$, $\; b_n = 729$.
$S = \dfrac{729 \cdot 3 - 1}{3 - 1} =$
$= \dfrac{2187 - 1}{2} = \dfrac{2186}{2} = 1093$.
2) $\dfrac{1}{16} + \dfrac{1}{8} + \dfrac{1}{4} + \ldots + 2$
$b_1 = \dfrac{1}{16}$, $\; q = 2$, $\; b_n = 2$.
$S = \dfrac{2 \cdot 2 - \dfrac{1}{16}}{2 - 1} = 4 - \dfrac{1}{16} = \dfrac{63}{16}$.
Формула суми через останній член
$S_n = \dfrac{b_n \cdot q - b_1}{q - 1}$.
Виводиться з основної формули: оскільки $b_1 q^n = b_n \cdot q$, маємо
$S_n = \dfrac{b_1(q^n-1)}{q-1} = \dfrac{b_1 q^n - b_1}{q-1} = \dfrac{b_n q - b_1}{q-1}$.
Переваги цієї формули. Коли відомий останній член і не потрібно обчислювати $q^n$ вручну. Наприклад, у п. 1) достатньо знати $b_n = 729$ і $q=3$ — число кроків не рахуємо.
Перевірка п. 1). $729 = 3^6$, тому $n=7$. За основною формулою: $S_7 = \dfrac{3^7-1}{3-1} = \dfrac{2186}{2} = 1093$ ✓.
Перевірка п. 2). $\dfrac{1}{16};\,\dfrac{1}{8};\,\dfrac{1}{4};\,\dfrac{1}{2};\,1;\,2$ — 6 членів, сума = $\dfrac{1+2+4+8+16+32}{16} = \dfrac{63}{16}$ ✓.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.