Вправа 21.1 — ГДЗ Алгебра 9 клас Істер
Вправа 21.1. Знайдіть $S$ — суму нескінченної геометричної прогресії ($b_n$), якщо:
1) $b_1 = 4$, $q = 0,5$;
2) $b_1 = 1$, $q = \dfrac{2}{3}$.
1) $b_1 = 4$, $q = 0,5$
$|q| = |0,5| < 1$
$S = \dfrac{b_1}{1 - q}$
$S = \dfrac{4}{1 - 0,5}$
$S = \dfrac{4}{0,5}$
$S = 8$
2) $b_1 = 1$, $q = \dfrac{2}{3}$
$\left|q\right| = \left|\dfrac{2}{3}\right| < 1$
$S = \dfrac{b_1}{1 - q}$
$S = \dfrac{1}{1 - \dfrac{2}{3}}$
$S = \dfrac{1}{\dfrac{1}{3}}$
$S = 1 \cdot 3$
$S = 3$
Сума нескінченної геометричної прогресії
Якщо знаменник прогресії задовольняє умову $|q| < 1$, то її суму обчислюють за формулою:
$$S = \dfrac{b_1}{1 - q}$$
Ключова ідея. Знаходження суми нескінченної геометричної прогресії можливе лише тоді, коли модуль її знаменника строго менший за одиницю. Якщо ця умова виконана, ми просто підставляємо перший член і знаменник у стандартну формулу.
1) (крок за кроком). Спочатку фіксуємо початкові дані та перевіряємо модуль знаменника: $0,5$ менше за $1$. Далі знаходимо різницю в знаменнику формули, що дає $0,5$. Останнім кроком ділимо чисельник $4$ на $0,5$. Оскільки ділення на половину рівносильне множенню на два, отримуємо ціле число $8$.
2) (крок за кроком). Тут знаменник задано звичайним дробом $\dfrac{2}{3}$, який за модулем теж менший за $1$. При відніманні від одиниці отримуємо знаменник дробу $\dfrac{1}{3}$. Ділення одиниці на $\dfrac{1}{3}$ перевертає дріб, перетворюючи дію на множення $1 \cdot 3$, що дає кінцевий результат $3$.
Перевірка. Знайдемо перший член через отриману суму та знаменник за формулою $b_1 = S \cdot (1 - q)$. Для першого пункту: $b_1 = 8 \cdot (1 - 0,5) = 8 \cdot 0,5 = 4$. Для другого пункту: $b_1 = 3 \cdot \left(1 - \dfrac{2}{3}\right) = 3 \cdot \dfrac{1}{3} = 1$. Обидва результати повністю збігаються з умовою. ✓
Часті помилки. Найпопулярніший затик — арифметичні помилки при діленні на десятковий або звичайний дріб. Учні часто автоматично зменшують число при діленні на $0,5$ или забувають перевернути дріб $\dfrac{1}{3}$ у знаменнику, через що отримують неправильні або дробові значення замість цілих чисел.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.