Вправа 21.10 — ГДЗ Алгебра 9 клас Істер
Вправа 21.10. На промені $OP$ від точки $O$ послідовно відкладено відрізки. Довжина першого з них дорівнює $12$ см, а довжина кожного наступного дорівнює $\dfrac{1}{4}$ від довжини попереднього. Обчисліть суму довжин усіх відрізків, якщо їх відкладати нескінченну кількість разів.
Довжини відрізків — нескінченна геометрична прогресія з $b_1 = 12$ см і $q = \dfrac{1}{4}$.
$S = \dfrac{b_1}{1-q} = \dfrac{12}{1-\dfrac{1}{4}} = \dfrac{12}{\dfrac{3}{4}} = 12 \cdot \dfrac{4}{3} = 16$ (см).
Сума нескінченної геометричної прогресії
$S = \dfrac{b_1}{1-q}$, де $|q| < 1$.
$b_1$ — перший член, $q$ — знаменник (відношення наступного члена до попереднього).
Параметри задачі
$b_1 = 12$ — довжина першого відрізка.
$q = \dfrac{1}{4}$ — кожен наступний у $4$ рази коротший від попереднього.
$|q| = \dfrac{1}{4} < 1$ — умова існування суми виконана.
Чому нескінченна кількість відрізків має скінченну суму? Хоча відрізків нескінченно багато, кожен у $4$ рази коротший від попереднього. Вони зменшуються так швидко, що загальна довжина не виходить за межу. Це і є збіжний нескінченний ряд.
Перевірка. $S = \dfrac{12}{3/4} = 16$. Перевіримо частковими сумами: $12 + 3 + 0{,}75 + 0{,}1875 + \ldots = 15{,}9375 + \ldots \to 16$ ✓. Перший відрізок — вже $75\%$ суми, другий — ще $18{,}75\%$.
Часта помилка. Скласти лише перші кілька відрізків ($12 + 3 = 15$) і вважати це відповіддю. Потрібно застосувати формулу, яка враховує всю нескінченну суму.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.