Вправа 21.11 — ГДЗ Алгебра 9 клас Істер
Вправа 21.11. Знайдіть суму нескінченної геометричної прогресії:
- $5\sqrt{2}$; $5$; $\dfrac{5\sqrt{2}}{2}$; $\ldots$
- $\dfrac{1}{4-2\sqrt{2}}$; $\dfrac{1}{2}$; $\dfrac{1}{2+\sqrt{2}}$; $\ldots$
1) $5\sqrt{2}$; $5$; $\dfrac{5\sqrt{2}}{2}$; $\ldots$
$q = \dfrac{b_2}{b_1} = \dfrac{5}{5\sqrt{2}} = \dfrac{1}{\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$.
$S = \dfrac{5\sqrt{2}}{1-\dfrac{\sqrt{2}}{2}} = \dfrac{10\sqrt{2}}{2-\sqrt{2}} = \dfrac{10\sqrt{2}(2+\sqrt{2})}{2} =$
$= 5\sqrt{2}(2+\sqrt{2}) = 10\sqrt{2}+10 = 10(1+\sqrt{2})$.
2) $\dfrac{1}{4-2\sqrt{2}}$; $\dfrac{1}{2}$; $\dfrac{1}{2+\sqrt{2}}$; $\ldots$
$q = \dfrac{b_2}{b_1} = \dfrac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{4-2\sqrt{2}}} = \dfrac{4-2\sqrt{2}}{2} = 2-\sqrt{2}$.
$b_1 = \dfrac{1}{4-2\sqrt{2}} \cdot \dfrac{4+2\sqrt{2}}{4+2\sqrt{2}} = \dfrac{4+2\sqrt{2}}{8} = \dfrac{2+\sqrt{2}}{4}$.
$S = \dfrac{\dfrac{2+\sqrt{2}}{4}}{\sqrt{2}-1} = \dfrac{(2+\sqrt{2})(\sqrt{2}+1)}{4} = \dfrac{3\sqrt{2}+4}{4}$.
Сума нескінченної геометричної прогресії
$S = \dfrac{b_1}{1-q}$, де $|q| < 1$.
Знаменник: $q = \dfrac{b_2}{b_1} = \dfrac{b_3}{b_2} = \ldots$
Раціоналізація знаменника (множення на спряжений)
$\dfrac{a}{b - \sqrt{c}} \cdot \dfrac{b+\sqrt{c}}{b+\sqrt{c}} = \dfrac{a(b+\sqrt{c})}{b^2-c}$.
Застосовуємо, коли у знаменнику є різниця або сума з коренем.
Пункт 1: звідки $\dfrac{10\sqrt{2}}{2-\sqrt{2}}$? $1 - \dfrac{\sqrt{2}}{2} = \dfrac{2-\sqrt{2}}{2}$, тому $\dfrac{5\sqrt{2}}{(2-\sqrt{2})/2} = \dfrac{10\sqrt{2}}{2-\sqrt{2}}$. Далі раціоналізуємо: множимо чисельник і знаменник на $(2+\sqrt{2})$. Знаменник $(2-\sqrt{2})(2+\sqrt{2}) = 4-2 = 2$.
Пункт 2: навіщо раціоналізувати $b_1$? Щоб уникнути вкладеного дробу $\dfrac{1/(4-2\sqrt{2})}{\sqrt{2}-1}$, зручніше спочатку привести $b_1$ до стандартного вигляду: $(4-2\sqrt{2})(4+2\sqrt{2}) = 16-8 = 8$, тому $b_1 = (2+\sqrt{2})/4$.
Фінальна раціоналізація в 2). $\dfrac{(2+\sqrt{2})/4}{\sqrt{2}-1}$: множимо на $(\sqrt{2}+1)/(\sqrt{2}+1)$. Знаменник $(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1) = 1$. Чисельник $(2+\sqrt{2})(\sqrt{2}+1) = 2\sqrt{2}+2+2+\sqrt{2} = 3\sqrt{2}+4$.
Перевірка. 1) $q = \sqrt{2}/2 \approx 0{,}707 < 1$; $S = 10(1+1{,}414) \approx 24{,}14$; безпосередньо: $7{,}07/(1-0{,}707) \approx 24{,}14$ ✓. 2) $q = 2-\sqrt{2} \approx 0{,}586 < 1$; $S \approx 0{,}854/0{,}414 \approx 2{,}06$; $(4+3\sqrt{2})/4 \approx 2{,}06$ ✓.
Часта помилка. У пункті 1) не раціоналізувати знаменник і залишити відповідь у вигляді $\dfrac{10\sqrt{2}}{2-\sqrt{2}}$. Завжди спрощуй до вигляду без кореня в знаменнику.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.