Вправа 21.12 — ГДЗ Алгебра 9 клас Істер
Вправа 21.12. Знайдіть суму нескінченної геометричної прогресії:
- $3\sqrt{3}$; $3$; $\sqrt{3}$; $\ldots$
- $1+\sqrt{5}$; $\dfrac{1+\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$; $\dfrac{1+\sqrt{5}}{5}$; $\ldots$
1) $3\sqrt{3}$; $3$; $\sqrt{3}$; $\ldots$
$q = \dfrac{b_2}{b_1} = \dfrac{3}{3\sqrt{3}} = \dfrac{1}{\sqrt{3}} = \dfrac{\sqrt{3}}{3}$.
$S = \dfrac{3\sqrt{3}}{1-\dfrac{\sqrt{3}}{3}} = \dfrac{9\sqrt{3}}{3-\sqrt{3}} = \dfrac{9\sqrt{3}(3+\sqrt{3})}{6} =$
$= \dfrac{3\sqrt{3}(3+\sqrt{3})}{2} = \dfrac{9\sqrt{3}+9}{2} = \dfrac{9(\sqrt{3}+1)}{2}$.
2) $1+\sqrt{5}$; $\dfrac{1+\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$; $\dfrac{1+\sqrt{5}}{5}$; $\ldots$
$q = \dfrac{b_2}{b_1} = \dfrac{\frac{1+\sqrt{5}}{\sqrt{5}}}{1+\sqrt{5}} = \dfrac{1}{\sqrt{5}} = \dfrac{\sqrt{5}}{5}$.
$S = \dfrac{1+\sqrt{5}}{1-\dfrac{\sqrt{5}}{5}} = \dfrac{\sqrt{5}(1+\sqrt{5})}{\sqrt{5}-1} = \dfrac{\sqrt{5}(1+\sqrt{5})^2}{4} =$
$= \dfrac{\sqrt{5}(6+2\sqrt{5})}{4} = \dfrac{6\sqrt{5}+10}{4} = \dfrac{3\sqrt{5}+5}{2}$.
Сума нескінченної геометричної прогресії
$S = \dfrac{b_1}{1-q}$, де $|q| < 1$.
$q = \dfrac{b_2}{b_1}$.
Раціоналізація знаменника
$\dfrac{a}{b-\sqrt{c}} = \dfrac{a(b+\sqrt{c})}{b^2-c}$.
У пункті 1): $(3-\sqrt{3})(3+\sqrt{3}) = 9-3 = 6$.
У пункті 2): $(\sqrt{5}-1)(\sqrt{5}+1) = 5-1 = 4$.
Пункт 1: де береться $9\sqrt{3}/(3-\sqrt{3})$? $1 - \sqrt{3}/3 = (3-\sqrt{3})/3$, тому $3\sqrt{3} \cdot 3/(3-\sqrt{3}) = 9\sqrt{3}/(3-\sqrt{3})$. Потім множимо на $(3+\sqrt{3})/(3+\sqrt{3})$: знаменник $(3-\sqrt{3})(3+\sqrt{3}) = 6$, чисельник $9\sqrt{3}(3+\sqrt{3}) = 27\sqrt{3}+9\cdot3 = 27\sqrt{3}+27$. Ділимо: $3\sqrt{3}(3+\sqrt{3})/2$.
Пункт 2: звідки $\sqrt{5}(1+\sqrt{5})/(\sqrt{5}-1)$? $1-1/\sqrt{5} = (\sqrt{5}-1)/\sqrt{5}$. Тому $S = (1+\sqrt{5}) \cdot \sqrt{5}/(\sqrt{5}-1) = \sqrt{5}(1+\sqrt{5})/(\sqrt{5}-1)$. Множимо на $(\sqrt{5}+1)/(\sqrt{5}+1)$: знаменник $= 4$, чисельник $= \sqrt{5}(1+\sqrt{5})^2 = \sqrt{5}(6+2\sqrt{5}) = 6\sqrt{5}+10$.
Перевірка. 1) $q = \sqrt{3}/3 \approx 0{,}577 < 1$; $S \approx 5{,}196/0{,}423 \approx 12{,}29$; $9(1+1{,}732)/2 \approx 12{,}29$ ✓. 2) $q = 1/\sqrt{5} \approx 0{,}447 < 1$; $S \approx 3{,}236/0{,}553 \approx 5{,}85$; $(5+3\cdot2{,}236)/2 \approx 5{,}85$ ✓.
Часта помилка. У пункті 2) написати $q = (1+\sqrt{5})/\sqrt{5} \div (1+\sqrt{5}) = (1+\sqrt{5})/\sqrt{5}$ — поділити неправильно. Правильно: чисельник і знаменник обидва містять $(1+\sqrt{5})$, який скорочується: $q = 1/\sqrt{5}$.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.