Вправа 21.13 — ГДЗ Алгебра 9 клас Істер
Вправа 21.13. Знайдіть суму нескінченної геометричної прогресії $(b_n)$, якщо:
- $b_3 = 20$, $q = \dfrac{1}{2}$;
- $b_4 = 1$, $q = -\dfrac{1}{3}$.
1) $b_3 = 20$, $q = \dfrac{1}{2}$
$b_1 = \dfrac{b_3}{q^2} = \dfrac{20}{\left(\frac{1}{2}\right)^2} = \dfrac{20}{\frac{1}{4}} = 80$.
$S = \dfrac{b_1}{1-q} = \dfrac{80}{1-\dfrac{1}{2}} = \dfrac{80}{\dfrac{1}{2}} = 160$.
2) $b_4 = 1$, $q = -\dfrac{1}{3}$
$b_1 = \dfrac{b_4}{q^3} = \dfrac{1}{\left(-\frac{1}{3}\right)^3} = \dfrac{1}{-\frac{1}{27}} = -27$.
$S = \dfrac{-27}{1-\left(-\dfrac{1}{3}\right)} = \dfrac{-27}{\dfrac{4}{3}} = -27 \cdot \dfrac{3}{4} = -\dfrac{81}{4}$.
Формула $n$-го члена
$b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.
Виразити перший член: $b_1 = \dfrac{b_n}{q^{n-1}}$.
Сума нескінченної геометричної прогресії
$S = \dfrac{b_1}{1-q}$, де $|q| < 1$.
Степінь від'ємного числа
$\left(-\dfrac{1}{3}\right)^3 = -\dfrac{1}{27}$: непарна степінь від'ємного числа — від'ємна.
$\dfrac{1}{-1/27} = -27$: ділення на від'ємне дає від'ємне.
Алгоритм: спочатку $b_1$, потім $S$. Безпосередньо з $b_3$ або $b_4$ суму не знайти. Обхід: із $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$ виражаємо $b_1 = b_n/q^{n-1}$, а потім вже $S = b_1/(1-q)$.
Чому в пункті 2) сума від'ємна? Перший член $b_1 = -27$ від'ємний. Знаменник $q = -1/3$ від'ємний, тому члени знакочергуються: $-27;\ 9;\ -3;\ 1;\ -1/3;\ldots$ Часткові суми: $-27,\ -18,\ -21,\ -20,\ -20{,}33,\ \ldots \to -81/4 = -20{,}25$.
Перевірка. 1) $b_3 = 80 \cdot (1/2)^2 = 20$ ✓; $S = 80/(1/2) = 160$ ✓. 2) $b_4 = (-27) \cdot (-1/3)^3 = (-27) \cdot (-1/27) = 1$ ✓; $S = -27/(4/3) = -81/4$ ✓.
Умова збіжності. 1) $|1/2| = 1/2 < 1$ ✓. 2) $|-1/3| = 1/3 < 1$ ✓.
Часта помилка. У пункті 2) вирахувати $(-1/3)^3 = 1/27$ без мінуса — непарна степінь від'ємного числа завжди від'ємна.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.