Вправа 21.14 — ГДЗ Алгебра 9 клас Істер
Вправа 21.14. Знайдіть суму нескінченної геометричної прогресії $(b_n)$, якщо:
- $b_5 = 1$, $q = \dfrac{1}{3}$;
- $b_2 = -10$, $q = -\dfrac{2}{3}$.
1) $b_5 = 1$, $q = \dfrac{1}{3}$
$b_1 = \dfrac{b_5}{q^4} = \dfrac{1}{\left(\frac{1}{3}\right)^4} = \dfrac{1}{\frac{1}{81}} = 81$.
$S = \dfrac{81}{1-\dfrac{1}{3}} = \dfrac{81}{\dfrac{2}{3}} = 81 \cdot \dfrac{3}{2} = \dfrac{243}{2}$.
2) $b_2 = -10$, $q = -\dfrac{2}{3}$
$b_1 = \dfrac{b_2}{q} = \dfrac{-10}{-\dfrac{2}{3}} = -10 \cdot \left(-\dfrac{3}{2}\right) = 15$.
$S = \dfrac{15}{1-\left(-\dfrac{2}{3}\right)} = \dfrac{15}{\dfrac{5}{3}} = 15 \cdot \dfrac{3}{5} = 9$.
Формула $n$-го члена
$b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$, тому $b_1 = \dfrac{b_n}{q^{n-1}}$.
Окремий випадок: $b_2 = b_1 \cdot q$, тому $b_1 = \dfrac{b_2}{q}$.
Сума нескінченної геометричної прогресії
$S = \dfrac{b_1}{1-q}$, де $|q| < 1$.
Пункт 1: знайти $b_1$ через $b_5$. $b_5 = b_1 \cdot q^4$, тому $b_1 = b_5/q^4 = 1/(1/3)^4 = 1/(1/81) = 81$. Ступінь $(1/3)^4 = 1/81$ — обернена до $81$, тому $1 \div (1/81) = 81$.
Пункт 2: найпростіший випадок — $b_2$. Якщо відомий другий член ($n = 2$), то $b_2 = b_1 \cdot q^1$, тобто $b_1 = b_2/q$. Формула максимально проста, не потрібно ніяких степенів окрім першого.
Знак в пункті 2). $b_2 = -10$, $q = -2/3$: обидва від'ємні. $b_1 = -10 \div (-2/3) = -10 \cdot (-3/2) = +15$ — результат додатній (мінус на мінус). Потім $S = 15/(5/3) = 9$ — додатній.
Перевірка. 1) $b_5 = 81 \cdot (1/3)^4 = 81/81 = 1$ ✓; $S = 81/(2/3) = 243/2$ ✓. 2) $b_2 = 15 \cdot (-2/3) = -10$ ✓; $S = 15/(5/3) = 9$ ✓.
Умова збіжності. 1) $|1/3| = 1/3 < 1$ ✓. 2) $|-2/3| = 2/3 < 1$ ✓.
Часта помилка. У пункті 1) вирахувати $(1/3)^4 = 4/3$ — переплутати степінь дробу з множенням дробу на ціле. $(1/3)^4 = 1^4/3^4 = 1/81$, а не $4/3$.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.