Вправа 21.15 — ГДЗ Алгебра 9 клас Істер

Умова

Вправа 21.15. Знайдіть суму, якщо $|x| < 1$ :

$1 + x + x^2 + x^3 + \ldots$
$x - x^3 + x^5 - x^7 + \ldots$

Розв'язання

1) $1 + x + x^2 + x^3 + \ldots$

Нескінченна геометрична прогресія з $b_1 = 1$ , $q = x$ , $|q| = |x| < 1$ .

$S = \dfrac{b_1}{1-q} = \dfrac{1}{1-x}$ .

Відповідь

\dfrac{1}{1-x}

2) $x - x^3 + x^5 - x^7 + \ldots$

Нескінченна геометрична прогресія з $b_1 = x$ , $q = -x^2$ ; $|q| = x^2 < 1$ .

$S = \dfrac{x}{1-(-x^2)} = \dfrac{x}{1+x^2}$ .

Відповідь

\dfrac{x}{1+x^2}

Сума нескінченної геометричної прогресії

$S = \dfrac{b_1}{1-q}$ , де $|q| < 1$ .

Знаменник ряду визначається як відношення сусідніх членів

Пункт 1): $q = x^2/x = x$ — знаменник; $b_1 = 1$ .

Пункт 2): $q = (-x^3)/x = -x^2$ — знаменник; $b_1 = x$ .

Умова збіжності

Пункт 1): $|q| = |x| < 1$ — за умовою задачі.

Пункт 2): $|q| = x^2 < 1$ . При $|x| < 1$ маємо $x^2 < 1$ — умова теж виконана.

Пункт 1 — класичний геометричний ряд. $1 + x + x^2 + \ldots$ — це стандартний нескінченний ряд зі знаменником $q = x$ . Формула $\dfrac{1}{1-x}$ є однією з найважливіших у математиці. Вона лежить в основі розкладань функцій у ряд.

Пункт 2: як знайти знаменник? Поряд із членами $x,\ -x^3,\ x^5,\ \ldots$ перевіряємо: $\dfrac{-x^3}{x} = -x^2$ , $\dfrac{x^5}{-x^3} = -x^2$ — знаменник $q = -x^2$ постійний ✓. $|q| = x^2 < 1$ при $|x| < 1$ ✓.

Чому $x^2 < 1$ при $|x| < 1$ ? $|x| < 1$ означає $-1 < x < 1$ . Зведення у квадрат: $x^2 < 1$ . ✓

Перевірка при $x = 0{,}5$ . 1) $\dfrac{1}{1-0{,}5} = 2$ ; ряд: $1 + 0{,}5 + 0{,}25 + 0{,}125 + \ldots \to 2$ ✓. 2) $\dfrac{0{,}5}{1+0{,}25} = \dfrac{0{,}5}{1{,}25} = 0{,}4$ ; ряд: $0{,}5 - 0{,}125 + 0{,}03125 - \ldots \to 0{,}4$ ✓.

Часта помилка. У пункті 2) написати $q = -x^3$ замість $q = -x^2$ — знаменник є відношенням членів, а не самим членом.