Вправа 21.15 — ГДЗ Алгебра 9 клас Істер
Вправа 21.15. Знайдіть суму, якщо $|x| < 1$:
- $1 + x + x^2 + x^3 + \ldots$
- $x - x^3 + x^5 - x^7 + \ldots$
1) $1 + x + x^2 + x^3 + \ldots$
Нескінченна геометрична прогресія з $b_1 = 1$, $q = x$, $|q| = |x| < 1$.
$S = \dfrac{b_1}{1-q} = \dfrac{1}{1-x}$.
2) $x - x^3 + x^5 - x^7 + \ldots$
Нескінченна геометрична прогресія з $b_1 = x$, $q = -x^2$; $|q| = x^2 < 1$.
$S = \dfrac{x}{1-(-x^2)} = \dfrac{x}{1+x^2}$.
Сума нескінченної геометричної прогресії
$S = \dfrac{b_1}{1-q}$, де $|q| < 1$.
Знаменник ряду визначається як відношення сусідніх членів
Пункт 1): $q = x^2/x = x$ — знаменник; $b_1 = 1$.
Пункт 2): $q = (-x^3)/x = -x^2$ — знаменник; $b_1 = x$.
Умова збіжності
Пункт 1): $|q| = |x| < 1$ — за умовою задачі.
Пункт 2): $|q| = x^2 < 1$. При $|x| < 1$ маємо $x^2 < 1$ — умова теж виконана.
Пункт 1 — класичний геометричний ряд. $1 + x + x^2 + \ldots$ — це стандартний нескінченний ряд зі знаменником $q = x$. Формула $\dfrac{1}{1-x}$ є однією з найважливіших у математиці. Вона лежить в основі розкладань функцій у ряд.
Пункт 2: як знайти знаменник? Поряд із членами $x,\ -x^3,\ x^5,\ \ldots$ перевіряємо: $\dfrac{-x^3}{x} = -x^2$, $\dfrac{x^5}{-x^3} = -x^2$ — знаменник $q = -x^2$ постійний ✓. $|q| = x^2 < 1$ при $|x| < 1$ ✓.
Чому $x^2 < 1$ при $|x| < 1$? $|x| < 1$ означає $-1 < x < 1$. Зведення у квадрат: $x^2 < 1$. ✓
Перевірка при $x = 0{,}5$. 1) $\dfrac{1}{1-0{,}5} = 2$; ряд: $1 + 0{,}5 + 0{,}25 + 0{,}125 + \ldots \to 2$ ✓. 2) $\dfrac{0{,}5}{1+0{,}25} = \dfrac{0{,}5}{1{,}25} = 0{,}4$; ряд: $0{,}5 - 0{,}125 + 0{,}03125 - \ldots \to 0{,}4$ ✓.
Часта помилка. У пункті 2) написати $q = -x^3$ замість $q = -x^2$ — знаменник є відношенням членів, а не самим членом.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.