Вправа 21.16 — ГДЗ Алгебра 9 клас Істер
Вправа 21.16. Запишіть нескінченний періодичний десятковий дріб у вигляді звичайного дробу:
- $0{,}(3)$;
- $0{,}(15)$;
- $3{,}1111\ldots$
- $7{,}393939\ldots$
- $0{,}6(3)$;
- $7{,}(25)$.
1) $0{,}(3)$
$0{,}(3) = \dfrac{\frac{3}{10}}{1-\frac{1}{10}} = \dfrac{3}{9} = \dfrac{1}{3}$.
2) $0{,}(15)$
$0{,}(15) = \dfrac{\frac{15}{100}}{1-\frac{1}{100}} = \dfrac{15}{99} = \dfrac{5}{33}$.
3) $3{,}1111\ldots$
$3{,}1111\ldots = 3 + \dfrac{\frac{1}{10}}{1-\frac{1}{10}} = $
$= 3 + \dfrac{1}{9} = \dfrac{27+1}{9} = \dfrac{28}{9}$.
4) $7{,}393939\ldots$
$7{,}393939\ldots = 7 + \dfrac{\frac{39}{100}}{1-\frac{1}{100}} = $
$= 7 + \dfrac{39}{99} = 7 + \dfrac{13}{33} =$
$= \dfrac{231+13}{33} = \dfrac{244}{33}$.
5) $0{,}6(3)$
$0{,}6(3) = \dfrac{6}{10} + \dfrac{\frac{3}{100}}{1-\frac{1}{10}} =$
$= \dfrac{6}{10} + \dfrac{3}{90} =$
$= \dfrac{54+3}{90} = \dfrac{57}{90} = \dfrac{19}{30}$.
6) $7{,}(25)$
$7{,}(25) = 7 + \dfrac{\frac{25}{100}}{1-\frac{1}{100}} =$
$= 7 + \dfrac{25}{99} = \dfrac{693+25}{99} = \dfrac{718}{99}$.
Нескінченний десятковий дріб як сума геометричної прогресії
$0{,}(d_1 d_2 \ldots d_k) = \dfrac{d_1 d_2 \ldots d_k / 10^k}{1 - 1/10^k} = \dfrac{d_1 d_2 \ldots d_k}{10^k - 1}$.
Знаменник залежить від довжини періоду
Один цифровий знак у періоді: ділимо на $9$.
Два знаки: ділимо на $99$.
Три знаки: ділимо на $999$.
Змішаний periodичний дріб
Якщо перед скобкою є цифри, що не повторюються, — окремо виділяємо їх і додаємо суму прогресії починаючи з наступного розряду:
$0{,}6(3) = \dfrac{6}{10} + \dfrac{3/100}{1-1/10} = \dfrac{6}{10} + \dfrac{3}{90}$.
Звідки береться дріб? $0{,}(3) = 0{,}3 + 0{,}03 + 0{,}003 + \ldots$ — нескінченна геометрична прогресія з $b_1 = 3/10$, $q = 1/10$. Сума: $(3/10) \div (9/10) = 3/9 = 1/3$.
Зручна формула для запам'ятовування. Чиста правильна дріб з одноцифровим повтором ділиться на $9$: $0{,}(3) = 3/9 = 1/3$. З двоцифровим — на $99$: $0{,}(15) = 15/99 = 5/33$.
Змішаний: чому $b_1 = 3/100$ у пункті 5)? У $0{,}6(3)$ шістка стоїть на першому місці після коми, тому вона не входить до прогресії. Трійки починаються з другого місця: перша трійка $3/100$, друга $3/1000$, знаменник $q = 1/10$.
Перевірка пунктів 3 і 4. $28/9 = 3{,}1111\ldots$ ✓. $244/33 = 7{,}393939\ldots$ ✓ (ділимо стовпчиком).
Часта помилка. В пункті 4) скоротити $39/99$ до $13/33$ — правильно, але забути врахувати ціле $7$ і написати відповідь $13/33$ замість $244/33$.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.