Вправа 21.17 — ГДЗ Алгебра 9 клас Істер
Вправа 21.17. Запишіть нескінченний періодичний десятковий дріб у вигляді звичайного дробу:
- $0{,}(7)$;
- $0{,}(18)$;
- $5{,}2222\ldots$
- $4{,}424242\ldots$
- $0{,}5(4)$;
- $4{,}(28)$.
1) $0{,}(7)$
$0{,}(7) = \dfrac{\frac{7}{10}}{1-\frac{1}{10}} = \dfrac{7}{9}$.
2) $0{,}(18)$
$0{,}(18) = \dfrac{\frac{18}{100}}{1-\frac{1}{100}} = \dfrac{18}{99} = \dfrac{2}{11}$.
3) $5{,}2222\ldots$
$5{,}2222\ldots = 5 + \dfrac{\frac{2}{10}}{1-\frac{1}{10}} =$
$= 5 + \dfrac{2}{9} = \dfrac{45+2}{9} = \dfrac{47}{9}$.
4) $4{,}424242\ldots$
$4{,}424242\ldots = 4 + \dfrac{\frac{42}{100}}{1-\frac{1}{100}} =$
$= 4 + \dfrac{42}{99} = 4 + \dfrac{14}{33} =$
$= \dfrac{132+14}{33} = \dfrac{146}{33}$.
5) $0{,}5(4)$
$0{,}5(4) = \dfrac{5}{10} + \dfrac{\frac{4}{100}}{1-\frac{1}{10}} =$
$= \dfrac{5}{10} + \dfrac{4}{90} = \dfrac{45+4}{90} = \dfrac{49}{90}$.
6) $4{,}(28)$
$4{,}(28) = 4 + \dfrac{\frac{28}{100}}{1-\frac{1}{100}} =$
$= 4 + \dfrac{28}{99} = \dfrac{396+28}{99} = \dfrac{424}{99}$.
Загальна формула
$0{,}(\overline{d_1 \ldots d_k}) = \dfrac{d_1 \ldots d_k}{10^k-1}$.
$0{,}a(\overline{d_1 \ldots d_k}) = \dfrac{a}{10} + \dfrac{d_1\ldots d_k}{10 \cdot (10^k-1)}$.
Знаменники-«дев'ятки»
Довжина 1: знаменник $9$. Довжина 2: $99$. Довжина 3: $999$.
Для змішаного: знаменник дробу — $9\underbrace{0\ldots0}_{\text{кількість позицій до скобки}}$.
Наприклад, $0{,}5(4)$: скобка стоїть на 2-й позиції → знаменник $90$.
Чим відрізняються «чистий» і «змішаний» дроби? У $0{,}(7)$ і $0{,}(18)$ — ВЕСЬ десятковий запис є повторенням (чистий). У $0{,}5(4)$ — спочатку одна невідновлювана цифра $5$, потім повтор $4$. Для змішаного $b_1$ зсувається на одну позицію далі: $4/100$ замість $4/10$.
Пункт 5 докладно. $0{,}5444\ldots = 5/10 + 4/100 + 4/1000 + \ldots$ Перший член прогресії $b_1 = 4/100 = 1/25$, знаменник $q = 1/10$. Сума прогресії: $(4/100)/(9/10) = 40/900 = 4/90$. Додаємо $5/10 = 45/90$: разом $49/90$.
Перевірка $2/11$. $2 \div 11 = 0{,}181818\ldots = 0{,}(18)$ ✓. Корисно пам'ятати: $1/11 = 0{,}(09)$, $2/11 = 0{,}(18)$, $3/11 = 0{,}(27)$, \ldots
Часта помилка. У пункті 5) взяти $b_1 = 4/10$ замість $4/100$ — не врахувати, що четвірки починаються з другого знаку після коми.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.