Вправа 21.18 — ГДЗ Алгебра 9 клас Істер
Вправа 21.18. Послідовність $(b_n)$ — нескінченна геометрична прогресія. Знайдіть:
- $b_5$, якщо $S = 13{,}5$, $q = \dfrac{1}{3}$;
- $b_2$, якщо $S = 49$, $b_1 = 56$.
1) $b_5$ при $S = 13{,}5$, $q = \dfrac{1}{3}$
$b_1 = S(1-q) = 13{,}5 \cdot \left(1-\dfrac{1}{3}\right) = \dfrac{27}{2} \cdot \dfrac{2}{3} = 9$.
$b_5 = b_1 \cdot q^4 = 9 \cdot \left(\dfrac{1}{3}\right)^4 = \dfrac{9}{81} = \dfrac{1}{9}$.
2) $b_2$ при $S = 49$, $b_1 = 56$
$q = 1-\dfrac{b_1}{S} = 1-\dfrac{56}{49} = 1-\dfrac{8}{7} = -\dfrac{1}{7}$.
$b_2 = b_1 \cdot q = 56 \cdot \left(-\dfrac{1}{7}\right) = -8$.
Два кроки: знайти невідоме, потім обчислити $b_n$
Якщо дано $S$ і $q$ → $b_1 = S(1-q)$, потім $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.
Якщо дано $S$ і $b_1$ → $q = 1 - \dfrac{b_1}{S}$, потім $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.
Формула $n$-го члена
$b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.
Пункт 1: звідки $13{,}5 = 27/2$? $13{,}5 = 13\frac{1}{2} = \dfrac{27}{2}$. Тому $b_1 = \dfrac{27}{2} \cdot \dfrac{2}{3} = \dfrac{27}{3} = 9$. Подвійки скоротились.
Пункт 2: чому $b_1 > S$ і $q$ від'ємний? $b_1 = 56 > S = 49$ означає, що решта доданків від'ємна. Перший член найбільший, а вся решта ряду від'ємна — це можливо лише при $q < 0$. Справді: $q = 1 - 56/49 = -1/7$.
Перевірка. 1) $b_1 = 9$, $q = 1/3$; $S = 9/(2/3) = 13{,}5$ ✓; $b_5 = 9 \cdot 1/81 = 1/9$ ✓. 2) $S = 56/(1+1/7) = 56/(8/7) = 49$ ✓; $b_2 = 56 \cdot (-1/7) = -8$ ✓.
Умова збіжності. 1) $|q| = 1/3 < 1$ ✓. 2) $|-1/7| = 1/7 < 1$ ✓.
Часта помилка. У пункті 1) вирахувати $(1/3)^4 = 4/3$ — це множення дробу на ціле, а не четверта степінь. Правильно: $(1/3)^4 = 1/81$.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.