Вправа 21.19 — ГДЗ Алгебра 9 клас Істер
Вправа 21.19. Послідовність $(b_n)$ — нескінченна геометрична прогресія. Знайдіть:
- $b_3$, якщо $S = 25$, $b_1 = 20$;
- $b_4$, якщо $S = 81$, $q = -\dfrac{2}{3}$.
1) $b_3$ при $S = 25$, $b_1 = 20$
$q = 1-\dfrac{b_1}{S} = 1-\dfrac{20}{25} = 1-\dfrac{4}{5} = \dfrac{1}{5}$.
$b_3 = b_1 \cdot q^2 = 20 \cdot \left(\dfrac{1}{5}\right)^2 = \dfrac{20}{25} = \dfrac{4}{5}$.
2) $b_4$ при $S = 81$, $q = -\dfrac{2}{3}$
$b_1 = S(1-q) = 81 \cdot \left(1+\dfrac{2}{3}\right) =$
$= 81 \cdot \dfrac{5}{3} = 135$.
$b_4 = b_1 \cdot q^3 = 135 \cdot \left(-\dfrac{2}{3}\right)^3 =$
$= 135 \cdot \left(-\dfrac{8}{27}\right) = -40$.
Алгоритм
Якщо дано $S$ і $b_1$ → $q = 1 - \dfrac{b_1}{S}$, далі $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.
Якщо дано $S$ і $q$ → $b_1 = S(1-q)$, далі $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.
Степінь від'ємного дробу
$\left(-\dfrac{2}{3}\right)^3 = -\dfrac{8}{27}$ (непарна степінь → від'ємне).
$135 \cdot \dfrac{8}{27} = 5 \cdot 8 = 40$ (скорочуємо $135/27 = 5$).
Пункт 1: яка логіка? Знаємо $S$ і $b_1$ — відразу знаходимо $q = 1 - b_1/S = 1 - 4/5 = 1/5$. Потім $b_3 = 20 \cdot (1/5)^2 = 20/25 = 4/5$. Сума більша від першого члена ($25 > 20$), тому $q > 0$ — все логічно.
Пункт 2: де береться $135$? $81 \cdot 5/3 = 81 \cdot 5 / 3 = 405/3 = 135$. Можна скорочувати інакше: $81/3 = 27$, тоді $27 \cdot 5 = 135$.
Обчислення $135 \cdot (-8/27)$. $135/27 = 5$, тому $135 \cdot (-8/27) = 5 \cdot (-8) = -40$. Завжди шукай, чим скоротити, до того як множити.
Перевірка. 1) $S = 20/(1-1/5) = 20/(4/5) = 25$ ✓; $b_3 = 20 \cdot 1/25 = 4/5$ ✓. 2) $S = 135/(1+2/3) = 135/(5/3) = 81$ ✓; $b_4 = 135 \cdot (-8/27) = -40$ ✓.
Умова збіжності. 1) $|q| = 1/5 < 1$ ✓. 2) $|{-2/3}| = 2/3 < 1$ ✓.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.