Вправа 21.20 — ГДЗ Алгебра 9 клас Істер
Вправа 21.20. Другий член нескінченної геометричної прогресії зі знаменником $q$, де $|q| < 1$, дорівнює $24$, а сума прогресії дорівнює $108$. Знайдіть четвертий член цієї прогресії.
$\begin{cases} b_1 q = 24, \\ \dfrac{b_1}{1-q} = 108. \end{cases}$
$b_1 = \dfrac{24}{q}$.
$\dfrac{24}{q(1-q)} = 108$.
$24 = 108q - 108q^2$.
$9q^2 - 9q + 2 = 0$.
$D = 81 - 72 = 9$.
$q_1 = \dfrac{9+3}{18} = \dfrac{2}{3}$, $\quad q_2 = \dfrac{9-3}{18} = \dfrac{1}{3}$.
$b_4 = b_2 \cdot q^2$ (бо $b_4 = b_1 q^3 = (b_1 q) \cdot q^2 = b_2 q^2$).
При $q_1 = \dfrac{2}{3}$:
$b_4 = 24 \cdot \left(\dfrac{2}{3}\right)^2 = 24 \cdot \dfrac{4}{9} = \dfrac{32}{3}$.
При $q_2 = \dfrac{1}{3}$:
$b_4 = 24 \cdot \left(\dfrac{1}{3}\right)^2 = 24 \cdot \dfrac{1}{9} = \dfrac{8}{3}$.
Система рівнянь для задач на нескінченну ГП
$b_2 = b_1 q$ та $S = \dfrac{b_1}{1-q}$ — два рівняння для двох невідомих.
Виражаємо $b_1$ з першого, підставляємо в друге → квадратне рівняння для $q$.
Зручна формула для $b_4$ через $b_2$
$b_4 = b_2 \cdot q^2$ (оскільки від $b_2$ до $b_4$ — два кроки множення на $q$).
Загально: $b_m = b_k \cdot q^{m-k}$.
Дискримінант
$9q^2 - 9q + 2 = 0$: $D = 81-72 = 9$, $\sqrt{D}=3$.
$q = \dfrac{9 \pm 3}{18}$: обидва кореня задовольняють $|q| < 1$.
Звідки береться квадратне рівняння? Підставляємо $b_1 = 24/q$ у $S = 108$: $\dfrac{24}{q(1-q)} = 108$. Переносимо: $24 = 108q(1-q) = 108q - 108q^2$. Ділимо на $12$: $2 = 9q - 9q^2$, тобто $9q^2 - 9q + 2 = 0$.
Чому два відповіді? Квадратне рівняння для $q$ має два корені, і обидва задовольняють $|q| < 1$. Тому задача має дві геометричні прогресії, що відповідають умові: одна зі знаменником $2/3$, друга — з $1/3$.
Перевірка обох. $q = 2/3$: $b_1 = 36$, $S = 36/(1/3) = 108$ ✓, $b_2 = 24$ ✓. $q = 1/3$: $b_1 = 72$, $S = 72/(2/3) = 108$ ✓, $b_2 = 24$ ✓.
Ключовий прийом $b_4 = b_2 \cdot q^2$. Не потрібно окремо знаходити $b_1$ — достатньо знати $b_2$ і $q$. Загальний принцип: від члена з індексом $k$ до члена з індексом $m$ треба помножити на $q^{m-k}$.
Часта помилка. Знайти $q$ і зупинитися, забувши обчислити $b_4$. Задача запитує конкретний член, а не знаменник.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.