Вправа 21.21 — ГДЗ Алгебра 9 клас Істер
Вправа 21.21. Другий член нескінченної геометричної прогресії зі знаменником $q$, де $|q| < 1$, дорівнює $36$, а сума прогресії дорівнює $144$. Знайдіть п'ятий член цієї прогресії.
$\begin{cases} b_1 q = 36, \\ \dfrac{b_1}{1-q} = 144. \end{cases}$
$b_1 = \dfrac{36}{q}$.
$\dfrac{36}{q(1-q)} = 144$.
$36 = 144q - 144q^2$.
$4q^2 - 4q + 1 = 0$.
$(2q-1)^2 = 0$.
$q = \dfrac{1}{2}$.
$b_1 = \dfrac{36}{\frac{1}{2}} = 72$.
$b_5 = b_1 \cdot q^4 = 72 \cdot \left(\dfrac{1}{2}\right)^4 = 72 \cdot \dfrac{1}{16} = \dfrac{9}{2}$.
Система та квадратне рівняння
$b_2 = b_1 q$, $S = \dfrac{b_1}{1-q}$ → виражаємо $b_1 = b_2/q$, підставляємо → квадратне рівняння для $q$.
Квадрат двочлена
$4q^2 - 4q + 1 = (2q-1)^2 = 0$ → єдиний корінь $q = \dfrac{1}{2}$.
При $D = 0$ квадратне рівняння має один (подвійний) корінь.
Формула $n$-го члена
$b_5 = b_1 \cdot q^4$. $\left(\dfrac{1}{2}\right)^4 = \dfrac{1}{16}$. $72 \cdot \dfrac{1}{16} = \dfrac{72}{16} = \dfrac{9}{2}$.
Порівняння з вправою 21.20. Там $b_2 = 24$, $S = 108$ — дискримінант $> 0$, два різні кореня. Тут $b_2 = 36$, $S = 144$ — дискримінант $= 0$, єдиний корінь. Чому? Бо $36/144 = 1/4 = (1/2)^2$, а при $q = 1/2$ маємо $b_2/S = q^2 \cdot (1-q) = (1/4) \cdot (1/2) = 1/8$... Насправді це математичний збіг, що перевіряється через умову $D = 0$.
Спрощення $72/16$. $\text{НСД}(72, 16) = 8$, тому $72/16 = 9/2$. Або: $72 \div 8 = 9$, $16 \div 8 = 2$.
Перевірка. $b_1 = 72$, $q = 1/2$. $S = 72/(1-1/2) = 144$ ✓. $b_2 = 72 \cdot 1/2 = 36$ ✓. $b_5 = 72 \cdot (1/2)^4 = 72/16 = 9/2$ ✓.
Альтернатива: через $b_2$. $b_5 = b_2 \cdot q^3 = 36 \cdot (1/2)^3 = 36/8 = 9/2$ ✓. Якщо $b_2$ відомий, то не треба шукати $b_1$ окремо.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.