Вправа 21.22 — ГДЗ Алгебра 9 клас Істер
Вправа 21.22. У рівносторонній трикутник вписано другий трикутник, вершинами якого є середини сторін першого. У другий трикутник у той самий спосіб вписано третій, і далі в такій само послідовності. Знайдіть суму периметрів усіх трикутників, якщо сторона першого дорівнює $a$ см.
Трикутник, утворений серединами сторін рівностороннього трикутника зі стороною $a$, є рівностороннім зі стороною $\dfrac{a}{2}$.
Периметри утворюють нескінченну геометричну прогресію: $b_1 = 3a$, $q = \dfrac{1}{2}$.
$S = \dfrac{3a}{1-\dfrac{1}{2}} = \dfrac{3a}{\dfrac{1}{2}} = 6a$ (см).
Середній трикутник рівностороннього трикутника
Трикутник, побудований на серединах сторін рівностороннього трикутника зі стороною $a$, — теж рівносторонній, зі стороною $\dfrac{a}{2}$.
Отже, кожний наступний периметр вдвічі менший: $q = \dfrac{1}{2}$.
Сума нескінченної геометричної прогресії
$S = \dfrac{b_1}{1-q}$, де $|q| = \dfrac{1}{2} < 1$.
Чому сторона вписаного трикутника = $a/2$? Середина теореми про середню лінію трикутника: відрізок, що з'єднує середини двох сторін, паралельний третій стороні і дорівнює її половині. У рівносторонньому трикутнику всі три «середні лінії» однакові і рівні $a/2$. Тому вписаний трикутник рівносторонній зі стороною $a/2$.
Чому $|q| < 1$? $q = 1/2 < 1$ — умова виконана, нескінченна сума існує.
Перевірка: частковий результат. Периметри: $3a + 3a/2 + 3a/4 + \ldots$. Часткова сума $3a \cdot (1 + 1/2 + 1/4 + \ldots) = 3a \cdot 2 = 6a$ — збігається з формулою.
Геометричний сенс. Нескінченно багато вкладених трикутників займають обмежену площу, а їхні периметри дають скінченну суму. Це наочна ілюстрація збіжності нескінченного ряду.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.