Вправа 21.23 — ГДЗ Алгебра 9 клас Істер
Вправа 21.23. У квадрат, сторона якого дорівнює $c$ см, вписано другий квадрат так, що його вершини є серединами сторін першого. У другий квадрат у той самий спосіб вписано третій квадрат, і далі в такій само послідовності. Знайдіть суму площ усіх таких квадратів.
Сторона вписаного квадрата — відстань між серединами сусідніх сторін квадрата зі стороною $c$:
$a_2 = \sqrt{\left(\dfrac{c}{2}\right)^2 + \left(\dfrac{c}{2}\right)^2} = \sqrt{\dfrac{c^2}{2}} = \dfrac{c}{\sqrt{2}}$.
Площа вписаного квадрата: $a_2^2 = \left(\dfrac{c}{\sqrt{2}}\right)^2 = \dfrac{c^2}{2}$.
Площі квадратів утворюють нескінченну геометричну прогресію: $b_1 = c^2$, $q = \dfrac{1}{2}$.
$S = \dfrac{c^2}{1-\dfrac{1}{2}} = \dfrac{c^2}{\dfrac{1}{2}} = 2c^2$ (см²).
Сторона вписаного квадрата
Вершини вписаного квадрата — середини сторін зовнішнього квадрата зі стороною $c$. Між сусідніми серединами — гіпотенуза прямокутного трикутника з катетами $c/2$:
$a_{\text{вп}} = \sqrt{2 \cdot \left(\dfrac{c}{2}\right)^2} = \dfrac{c}{\sqrt{2}}$, $\quad a_{\text{вп}}^2 = \dfrac{c^2}{2}$.
Знаменник прогресії площ
$q = \dfrac{a_{\text{вп}}^2}{c^2} = \dfrac{c^2/2}{c^2} = \dfrac{1}{2}$.
$S = \dfrac{c^2}{1 - 1/2} = 2c^2$.
Чому $a_{\text{вп}}^2 = c^2/2$, а не $c^2/\sqrt{2}$? Сторона вписаного квадрата $a_{\text{вп}} = c/\sqrt{2}$. Площа — квадрат сторони: $(c/\sqrt{2})^2 = c^2/2$. Ключ: спочатку знаходимо сторону, потім зводимо у квадрат.
Порівняння з вправою 21.22. У трикутнику $q = 1/2$ для периметрів (лінійний масштаб $1/2$). У квадраті $q = 1/2$ для площ (лінійний масштаб $1/\sqrt{2}$, площа масштабується в квадрат: $(1/\sqrt{2})^2 = 1/2$). Збіг чисельний, але геометричний сенс різний.
Перевірка. Площі: $c^2 + c^2/2 + c^2/4 + \ldots = c^2 \cdot \dfrac{1}{1-1/2} = 2c^2$ ✓.
Часта помилка. Взяти $q = 1/\sqrt{2}$ замість $1/2$ — плутають знаменник прогресії сторін зі знаменником прогресії площ.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.