Вправа 21.26 — ГДЗ Алгебра 9 клас Істер
Вправа 21.26. Розв'яжіть рівняння, якщо $|x| < 1$:
1) $\dfrac{1}{x} + x + x^2 + \dots + x^n + \dots = \dfrac{7}{2}$;
2) $1 - x + x^2 - x^3 + \dots = \dfrac{13}{6} - 3x$.
1) $\dfrac{1}{x} + x + x^2 + \dots + x^n + \dots = \dfrac{7}{2}$
Частина ряду $x + x^2 + \dots$ — нескінченна геометрична прогресія, де $b_1 = x$, $q = x$.
Її сума: $S = \dfrac{x}{1 - x}$.
$\dfrac{1}{x} + \dfrac{x}{1 - x} = \dfrac{7}{2}$.
$\dfrac{1 - x + x^2}{x(1 - x)} = \dfrac{7}{2}$.
$2(1 - x + x^2) = 7x(1 - x)$.
$2 - 2x + 2x^2 = 7x - 7x^2$.
$9x^2 - 9x + 2 = 0$.
$D = (-9)^2 - 4 \cdot 9 \cdot 2 = 81 - 72 = 9$.
$x_1 = \dfrac{9 + 3}{18} = \dfrac{12}{18} = \dfrac{2}{3}$.
$x_2 = \dfrac{9 - 3}{18} = \dfrac{6}{18} = \dfrac{1}{3}$.
Обидва корені задовольняють умову $|x| < 1$.
2) $1 - x + x^2 - x^3 + \dots = \dfrac{13}{6} - 3x$
Ліва частина — нескінченна геометрична прогресія, де $b_1 = 1$, $q = -x$.
Її сума: $S = \dfrac{1}{1 - (-x)} = \dfrac{1}{1 + x}$.
$\dfrac{1}{1 + x} = \dfrac{13}{6} - 3x$.
$\dfrac{1}{1 + x} = \dfrac{13 - 18x}{6}$.
$6 = (1 + x)(13 - 18x)$.
$6 = 13 - 18x + 13x - 18x^2$.
$18x^2 + 5x - 7 = 0$.
$D = 5^2 - 4 \cdot 18 \cdot (-7) = 25 + 504 = 529 = 23^2$.
$x_1 = \dfrac{-5 + 23}{36} = \dfrac{18}{36} = \dfrac{1}{2}$.
$x_2 = \dfrac{-5 - 23}{36} = -\dfrac{28}{36} = -\dfrac{7}{9}$.
Обидва корені задовольняють умову $|x| < 1$.
Сума нескінченної геометричної прогресії
$$S = \dfrac{b_1}{1 - q}, \text{ при } |q| < 1$$
Алгоритм: Згортаємо нескінченний ряд доданків у лівій частині рівняння за формулою суми геометричної прогресії. Отримане раціональне рівняння зводимо до квадратного за допомогою пропорції та розв'язуємо через дискримінант. Обов'язково перевіряємо знайдені корені на відповідність початковій умові $|x| < 1$.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.