Вправа 21.29 — ГДЗ Алгебра 9 клас Істер
Вправа 21.29. Побудуйте графік функції $y = -x^2 + 2x - 3$. За графіком знайдіть:
- область значень функції;
- проміжок зростання функції.
$a = -1 < 0$ — гілки вниз. Вершина: $x_в = -\dfrac{2}{2\cdot(-1)} = 1$, $y_в = -1+2-3 = -2$.
$D = 4 - 12 = -8 < 0$ — нулів немає, парабола цілком нижче осі $Ox$.
1) Область значень
Парабола розкрита вниз, вершина $y_в = -2$ — найбільше значення функції.
$E(y) = (-\infty;\,-2]$.
2) Проміжок зростання
Вісь симетрії $x = 1$: ліворуч від неї функція зростає, праворуч — спадає.
Зростає на $(-\infty;\,1]$.
Властивості квадратичної функції при $a < 0$
Гілки вниз; $y_{\max} = y_в$; $E(y) = (-\infty;\,y_в]$.
Зростає на $(-\infty;\,x_в]$, спадає на $[x_в;\,+\infty)$.
Координати вершини
$x_в = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{2}{-2} = 1$, $y_в = f(1) = -1+2-3 = -2$.
Нулі та розташування графіка
$D = b^2 - 4ac = 4 - 12 = -8 < 0$ — нулів немає.
При $a < 0$ і $D < 0$: вершина нижче осі $Ox$ ($y_в=-2<0$) → весь графік під нею.
Чому немає нулів і графік під віссю? $D = -8 < 0$ — рівняння $-x^2+2x-3=0$ дійсних коренів немає. Оскільки $a < 0$ і $y_в = -2 < 0$, вся парабола лежить нижче осі $Ox$.
Область значень: звідки $(-\infty;\,-2]$? Парабола відкрита вниз — «іде вниз» до $-\infty$ в обидва боки. Вершина $y_в=-2$ — найвища точка. Отже, функція приймає всі значення, що не перевищують $-2$.
Зростання і спадання. Вісь симетрії $x=1$ ділить параболу: до $x=1$ крива підіймається (зростання), після — опускається (спадання). Вершина входить в обидва проміжки через квадратну дужку.
Перевірка кількох точок. $f(0)=-3$; $f(1)=-2$ (максимум); $f(2)=-3$; $f(3)=-6$. Від $0$ до $1$: $-3\to -2$ — зростання ✓. Від $1$ до $3$: $-2\to -3\to -6$ — спадання ✓. Симетрія: $f(0)=f(2)=-3$ ✓.
На графіку. Пунктирна горизонталь $y=-2$ показує верхню межу області значень. Пунктирна вертикаль $x=1$ — вісь симетрії, що розділяє зростання і спадання.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.