Вправа 21.3 — ГДЗ Алгебра 9 клас Істер
Вправа 21.3. Перевірте, що знаменник $q$ нескінченної геометричної прогресії задовольняє умову $|q| < 1$, і знайдіть суму цієї прогресії:
1) $7;\ 1;\ \dfrac{1}{7};\ \dots$;
2) $-1;\ -\dfrac{1}{4};\ -\dfrac{1}{16};\ \dots$;
3) $0,5;\ -0,05;\ 0,005;\ \dots$;
4) $-10;\ 4;\ -1,6;\ \dots$ .
1) $7;\ 1;\ \dfrac{1}{7};\ \dots$
$b_1 = 7$
$b_2 = 1$
$q = \dfrac{b_2}{b_1} = \dfrac{1}{7}$
$\left|q\right| = \left|\dfrac{1}{7}\right| < 1$
$S = \dfrac{b_1}{1 - q}$
$S = \dfrac{7}{1 - \dfrac{1}{7}}$
$S = \dfrac{7}{\dfrac{6}{7}}$
$S = 7 \cdot \dfrac{7}{6}$
$S = \dfrac{49}{6}$
$S = 8\dfrac{1}{6}$
2) $-1;\ -\dfrac{1}{4};\ -\dfrac{1}{16};\ \dots$
$b_1 = -1$
$b_2 = -\dfrac{1}{4}$
$q = \dfrac{b_2}{b_1} = \dfrac{-\dfrac{1}{4}}{-1} = \dfrac{1}{4}$
$\left|q\right| = \left|\dfrac{1}{4}\right| < 1$
$S = \dfrac{b_1}{1 - q}$
$S = \dfrac{-1}{1 - \dfrac{1}{4}}$
$S = \dfrac{-1}{\dfrac{3}{4}}$
$S = -1 \cdot \dfrac{4}{3}$
$S = -\dfrac{4}{3}$
$S = -1\dfrac{1}{3}$
3) $0,5;\ -0,05;\ 0,005;\ \dots$
$b_1 = 0,5$
$b_2 = -0,05$
$q = \dfrac{b_2}{b_1} = \dfrac{-0,05}{0,5} = -0,1$
$|q| = |-0,1| = 0,1 < 1$
$S = \dfrac{b_1}{1 - q}$
$S = \dfrac{0,5}{1 - (-0,1)}$
$S = \dfrac{0,5}{1 + 0,1}$
$S = \dfrac{0,5}{1,1}$
$S = \dfrac{5}{11}$
4) $-10;\ 4;\ -1,6;\ \dots$
$b_1 = -10$
$b_2 = 4$
$q = \dfrac{b_2}{b_1} = \dfrac{4}{-10} = -0,4$
$|q| = |-0,4| = 0,4 < 1$
$S = \dfrac{b_1}{1 - q}$
$S = \dfrac{-10}{1 - (-0,4)}$
$S = \dfrac{-10}{1 + 0,4}$
$S = \dfrac{-10}{1,4}$
$S = -\dfrac{100}{14}$
$S = -\dfrac{50}{7}$
$S = -7\dfrac{1}{7}$
Знаменник та сума нескінченної прогресії
Знаменник геометричної прогресії знаходиться за формою: $q = \dfrac{b_2}{b_1}$.
Якщо модуль знаменника менший за одиницю ($|q| < 1$), то сума обчислюється так:
$$S = \dfrac{b_1}{1 - q}$$
Ключова ідея. На відміну від попередніх завдань, тут знаменник $q$ не дано одразу. Спочатку його потрібно самостійно вирахувати через відношення другого члена до першого, перевірити виконання умови спадання, а вже потім шукати суму.
1) (крок за кроком). Ділимо $1$ на $7$ і отримуємо знаменник $\dfrac{1}{7}$. Модуль менший за $1$. Підставляємо значення: в знаменнику утворюється $1 - \dfrac{1}{7} = \dfrac{6}{7}$. Перевертаємо цей дріб для ділення і множимо на чисельник: $7 \cdot \dfrac{7}{6} = \dfrac{49}{6}$. Виділяємо цілу частину й маємо $8\dfrac{1}{6}$.
2) (крок за кроком). Знаходимо знаменник: ділимо $-\dfrac{1}{4}$ на $-1$, мінуси знищуються, залишається $\dfrac{1}{4}$. Умова виконана. Обчислюємо низ формули: $1 - \dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{4}$. Ділимо $b_1 = -1$ на $\dfrac{3}{4}$, перевертаємо дріб та отримуємо $-\dfrac{4}{3}$, що дорівнює $-1\dfrac{1}{3}$.
3) (крок за кроком). Обчислюємо $q = -0,05 : 0,5 = -0,1$. Модуль $|-0,1| = 0,1 < 1$. У знаменнику формули маємо мінус на мінус: $1 - (-0,1) = 1 + 0,1 = 1,1$. Ділимо $0,5$ на $1,1$. Щоб позбутися ком, переносимо їх на один знак праворуч у чисельнику та знаменнику, виходить нескоротний дріб $\dfrac{5}{11}$.
4) (крок за кроком). Шукаємо знаменник: $q = 4 : (-10) = -0,4$. Умова $|-0,4| < 1$ підтверджується. Підставляємо: знаменник дає $1 - (-0,4) = 1,4$. Формула суми набуває вигляду $-10 : 1,4$. Домножуємо на $10$ для ліквідації ком: $-\dfrac{100}{14}$. Скорочуємо дріб на $2$ до $-\dfrac{50}{7}$ та виділяємо цілу частину: $-7\dfrac{1}{7}$.
Перевірка. Перевіримо третій пункт через формулу першого члена: $b_1 = S \cdot (1 - q)$. Підставимо значення: $b_1 = \dfrac{5}{11} \cdot 1,1 = \dfrac{5}{11} \cdot \dfrac{11}{10} = \dfrac{5}{10} = 0,5$. Значення збіглося з умовою. ✓
Часті помилки. Найчастіше втрачають знаки мінус. У 3 та 4 пунктах знаменник $q$ від'ємний, тому при підставленні у вираз $1 - q$ мінус змінюється на плюс. Якщо про це забути, замість додавання відбудеться віднімання, і весь результат буде хибним.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.