Вправа 21.30 — ГДЗ Алгебра 9 клас Істер
Вправа 21.30. Знайдіть найбільший член послідовності, заданої формулою $n$-го члена: $x_n = -2n^2 + 8n + 17$.
$a = -2 < 0$ — функція від $n$ є параболою з гілками вниз, має максимум.
$n_в = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{8}{2 \cdot (-2)} = 2 \in \mathbb{N}$.
$x_2 = -2 \cdot 2^2 + 8 \cdot 2 + 17 = -8 + 16 + 17 = 25$.
Максимальний член послідовності $x_n = an^2 + bn + c$
При $a < 0$ парабола відкрита вниз → є максимум в точці $n_в = -\dfrac{b}{2a}$.
Якщо $n_в \in \mathbb{N}$ → найбільший член $x_{n_в}$.
Якщо $n_в \notin \mathbb{N}$ → порівняти $x_{\lfloor n_в \rfloor}$ і $x_{\lceil n_в \rceil}$.
Формула вершини параболи
$n_в = -\dfrac{b}{2a}$ (де $a$, $b$ — коефіцієнти при $n^2$ та $n$).
Ідея методу. Замість перебору всіх $n$ трактуємо $x_n = -2n^2 + 8n + 17$ як квадратну функцію дійсного аргументу. При $a < 0$ її графік — парабола вниз із максимумом у вершині. Вершина при $n_в = 2$ — натуральне число, тому $x_2$ і є найбільшим членом послідовності.
Що якби $n_в$ не було натуральним? Наприклад, $n_в = 2{,}5$: порівнюємо $x_2$ і $x_3$. Оскільки парабола симетрична відносно $n_в = 2{,}5$, обидва значення рівні. При $n_в = 2{,}3$: $x_2 > x_3$, бо $n=2$ ближче до вершини.
Перевірка сусідніх членів. $x_1 = -2+8+17 = 23$; $x_2 = 25$; $x_3 = -18+24+17 = 23$; $x_4 = -32+32+17 = 17$. Максимум при $n = 2$ ✓. Зверни увагу: $x_1 = x_3 = 23$ — симетрія відносно $n_в = 2$ ✓.
Часта помилка. Підставити $n_в$ у формулу без перевірки, що $n_в \in \mathbb{N}$. Якщо $n_в = 2{,}3$, то $x_{2{,}3}$ — не член послідовності, відповідь хибна.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.