Вправа 21.32 — ГДЗ Алгебра 9 клас Істер
Вправа 21.32. Знайдіть найбільше значення функції $y = \dfrac{20x^2}{x^4 + 100}$.
$y = \dfrac{20x^2}{x^4 + 100}$
$y = \dfrac{20}{x^2 + \dfrac{100}{x^2}}$
$x^2 + \dfrac{100}{x^2} = x^2 - 2 \cdot x \cdot \dfrac{10}{x} + \dfrac{100}{x^2} + 20 = $
$= \left(x - \dfrac{10}{x}\right)^2 + 20$
$\left(x - \dfrac{10}{x}\right)^2 \geqslant 0$
$\left(x - \dfrac{10}{x}\right)^2 + 20 \geqslant 20$
$\dfrac{20}{\left(x - \dfrac{10}{x}\right)^2 + 20} \leqslant \dfrac{20}{20}$
$y \leqslant 1$
Властивості дробів та нерівностей
Для будь-якого виразу $A$ виконується нерівність $A^2 \geqslant 0$.
Якщо чисельник додатного дробу є сталим, то дріб набуває свого найбільшого значення тоді, коли його знаменник є найменшим.
Ключова ідея. Поділити чисельник і знаменник на $x^2$, щоб перенести змінну виключно в знаменник, а потім знайти його найменше значення через виділення повного квадрата.
Вправа 21.32 (крок за кроком). Поглянь на функцію. Якщо $x = 0$, то $y = 0$. Для будь-яких інших значень $x$ функція додатна, тому $0$ точно не є найбільшим значенням. Поділимо чисельник і знаменник на $x^2$. Чисельник перетворюється на число $20$, а знаменник стає сумою $x^2 + \dfrac{100}{x^2}$. Тепер, щоб весь дріб став якомога більшим, нам потрібно зробити цей новий знаменник якомога меншим. Виділимо повний квадрат двочлена: додамо і віднімемо подвоєний добуток $2 \cdot x \cdot \dfrac{10}{x} = 20$. Отримуємо вираз $\left(x - \dfrac{10}{x}\right)^2 + 20$. Оскільки квадрат завжди $\geqslant 0$, то найменше значення знаменника дорівнює $20$. Тоді найбільше значення дробу дорівнює $\dfrac{20}{20} = 1$.
Перевірка. Знайдемо, при якому $x$ досягається цей максимум: $x - \dfrac{10}{x} = 0 \implies x^2 = 10 \implies x = \pm\sqrt{10}$. Підставимо $x = \sqrt{10}$ у початкову функцію: $y = \dfrac{20 \cdot 10}{100 + 100} = \dfrac{200}{200} = 1$. Все чітко. ✓
Часті помилки. Спроба розв'язати через похідну (яку в 9 класі ще не вчили) або втрата умови $x \neq 0$ при діленні виразу на змінну. Також іноді помиляються у знаку при виділенні повного квадрата в знаменнику.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.