Вправа 21.4 — ГДЗ Алгебра 9 клас Істер
Вправа 21.4. Перевірте, що знаменник $q$ нескінченної геометричної прогресії задовольняє умову $|q| < 1$, і знайдіть суму цієї прогресії:
1) $6;\ 1;\ \dfrac{1}{6};\ \dots$;
2) $-1;\ -\dfrac{1}{3};\ -\dfrac{1}{9};\ \dots$;
3) $0,4;\ -0,04;\ 0,004;\ \dots$;
4) $-9;\ 3;\ -1;\ \dots$ .
1) $6;\ 1;\ \dfrac{1}{6};\ \dots$
$b_1 = 6$
$b_2 = 1$
$q = \dfrac{b_2}{b_1} = \dfrac{1}{6}$
$\left|q\right| = \left|\dfrac{1}{6}\right| < 1$
$S = \dfrac{b_1}{1 - q}$
$S = \dfrac{6}{1 - \dfrac{1}{6}}$
$S = \dfrac{6}{\dfrac{5}{6}}$
$S = 6 \cdot \dfrac{6}{5}$
$S = \dfrac{36}{5}$
$S = 7\dfrac{1}{5}$
2) $-1;\ -\dfrac{1}{3};\ -\dfrac{1}{9};\ \dots$
$b_1 = -1$
$b_2 = -\dfrac{1}{3}$
$q = \dfrac{b_2}{b_1} = \dfrac{-\dfrac{1}{3}}{-1} = \dfrac{1}{3}$
$\left|q\right| = \left|\dfrac{1}{3}\right| < 1$
$S = \dfrac{b_1}{1 - q}$
$S = \dfrac{-1}{1 - \dfrac{1}{3}}$
$S = \dfrac{-1}{\dfrac{2}{3}}$
$S = -1 \cdot \dfrac{3}{2}$
$S = -\dfrac{3}{2}$
$S = -1\dfrac{1}{2}$
3) $0,4;\ -0,04;\ 0,004;\ \dots$
$b_1 = 0,4$
$b_2 = -0,04$
$q = \dfrac{b_2}{b_1} = \dfrac{-0,04}{0,4} = -0,1$
$|q| = |-0,1| = 0,1 < 1$
$S = \dfrac{b_1}{1 - q}$
$S = \dfrac{0,4}{1 - (-0,1)}$
$S = \dfrac{0,4}{1 + 0,1}$
$S = \dfrac{0,4}{1,1}$
$S = \dfrac{4}{11}$
4) $-9;\ 3;\ -1;\ \dots$
$b_1 = -9$
$b_2 = 3$
$q = \dfrac{b_2}{b_1} = \dfrac{3}{-9} = -\dfrac{1}{3}$
$\left|q\right| = \left|-\dfrac{1}{3}\right| = \dfrac{1}{3} < 1$
$S = \dfrac{b_1}{1 - q}$
$S = \dfrac{-9}{1 - \left(-\dfrac{1}{3}\right)}$
$S = \dfrac{-9}{1 + \dfrac{1}{3}}$
$S = \dfrac{-9}{\dfrac{4}{4} + \dfrac{1}{3}}$
$S = \dfrac{-9}{\dfrac{4}{3}}$
$S = -9 \cdot \dfrac{3}{4}$
$S = -\dfrac{27}{4}$
$S = -6\dfrac{3}{4}$
Сума нескінченної геометричної прогресії
Знаменник знаходять через відношення наступного члена до попереднього: $q = \dfrac{b_2}{b_1}$.
Якщо виконано умову спадання $|q| < 1$, то загальну суму обчислюють за формулою:
$$S = \dfrac{b_1}{1 - q}$$
Ключова ідея. Задача аналогічна номеру 21.3. Спочатку ми з'ясовуємо крок (знаменник) прогресії $q$, ділячи другий елемент послідовності на перший. Перевіривши умову, що дріб за модулем строго менший за одиницю, виконуємо розрахунок суми.
1) (крок за кроком). Ділимо $1$ на $6$, утворюється $q = \dfrac{1}{6}$. Модуль задовольняє умову. Знаменник формули набуває вигляду $1 - \dfrac{1}{6} = \dfrac{5}{6}$. Ділимо перший член $6$ на отриману $\dfrac{5}{6}$, що зводиться до перевертання дробу та множення $6 \cdot \dfrac{6}{5} = \dfrac{36}{5}$. Виділивши цілу частину, маємо $7\dfrac{1}{5}$.
2) (крок за кроком). Розраховуємо знаменник: $-\dfrac{1}{3} : (-1) = \dfrac{1}{3}$. Перевірка модуля підтверджує спадання. У знаменнику формули маємо $1 - \dfrac{1}{3} = \dfrac{2}{3}$. Далі ділимо початковий член $-1$ на $\dfrac{2}{3}$. Перевертаємо дріб і отримуємо остаточне значення $-\dfrac{3}{2}$, тобто $-1\dfrac{1}{2}$.
3) (крок за кроком). Знаходимо $q = -0,04 : 0,4 = -0,1$. Модуль дорівнює $0,1 < 1$. Внизу формули два мінуси дають плюс: $1 - (-0,1) = 1 + 0,1 = 1,1$. Записуємо відношення чисельника до знаменника $\dfrac{0,4}{1,1}$. Позбуваємося ком шляхом множення обох частин на $10$ й отримуємо нескоротний звичайний дріб $\dfrac{4}{11}$.
4) (крок за кроком). Визначаємо знаменник: $3 : (-9) = -\dfrac{3}{9} = -\dfrac{1}{3}$. Модуль $\dfrac{1}{3}$ менший за $1$. Підставляємо в низ формули, де знову утворюється додавання: $1 - (-\dfrac{1}{3}) = 1 + \dfrac{1}{3} = \dfrac{4}{3}$. Ділимо $b_1 = -9$ на $\dfrac{4}{3}$, перевертаємо та множимо: $-9 \cdot \dfrac{3}{4} = -\dfrac{27}{4}$. Виділяємо цілу частину й маємо $-6\dfrac{3}{4}$.
Перевірка. Перевіримо четвертий пункт через базову формулу першого члена: $b_1 = S \cdot (1 - q)$. Підставляємо: $b_1 = -\dfrac{27}{4} \cdot \left(1 - \left(-\dfrac{1}{3}\right)\right) = -\dfrac{27}{4} \cdot \dfrac{4}{3} = -\dfrac{27}{3} = -9$. Отримане значення повністю відповідає початковій умові завдання. ✓
Часті помилки. Найбільша небезпека криється у правильному розкритті дужок у знаменнику, коли $q$ є від'ємним. Формула містить власний мінус ($1 - q$), тому від'ємний знаменник обов'язково перетворює дію на додавання. Також часто забувають скоротити проміжні дроби, наприклад $\dfrac{3}{9}$ у четвертому пункті, через що обчислення стають занадто громіздкими.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.