Вправа 21.5 — ГДЗ Алгебра 9 клас Істер
Вправа 21.5. (Задача Архімеда.) Знайдіть суму нескінченної геометричної прогресії:
$$1 + \dfrac{1}{4} + \left(\dfrac{1}{4}\right)^2 + \left(\dfrac{1}{4}\right)^3 + \dots$$
Дано: $b_1 = 1$, $b_2 = \dfrac{1}{4}$. Знаменник прогресії: $q = \dfrac{b_2}{b_1} = \dfrac{\dfrac{1}{4}}{1} = \dfrac{1}{4}$.
Перевірка умови: $|q| = \left|\dfrac{1}{4}\right| = \dfrac{1}{4} < 1$ (прогресія є нескінченно спадною).
Обчислюємо суму: $S = \dfrac{b_1}{1 - q} = \dfrac{1}{1 - \dfrac{1}{4}} = \dfrac{1}{\dfrac{3}{4}} = \dfrac{4}{3} = 1\dfrac{1}{3}$.
Сума нескінченної геометричної прогресії
Якщо знаменник геометричної прогресії задовольняє умову $|q| < 1$, то сума такої прогресії визначається за формулою:
$$S = \dfrac{b_1}{1 - q}$$
Історична довідка. Цей математичний вираз відомий як «Задача Архімеда». Великий давньогрецький учений використовував підсумовування саме цієї прогресії під час знаходження площі сегмента параболи за допомогою свого знаменитого методу вичерпування. Це був один із перших кроків до створення інтегрального числення.
Короткий розбір. Ряд починається з числа $1$ — це перший член прогресії $b_1$. Кожен наступний доданок отримується піднесенням дробу $\dfrac{1}{4}$ до наступного степеня, тому знаменник $q = \dfrac{1}{4}$. Оскільки модуль знаменника менший за одиницю, ми застосовуємо стандартну формулу суми. Різниця в знаменнику дає $1 - \dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{4}$, а ділення одиниці на цей дріб просто перевертає його, утворюючи $\dfrac{4}{3}$, або $1\dfrac{1}{3}$.
Часті помилки. Найбільш поширена неуважність — вважати першим членом прогресії дріб $\dfrac{1}{4}$, повністю ігноруючи початкову одиницю. Якщо зробити таку помилку, значення чисельника зміниться і фінальний результат виявиться неправильним ($\dfrac{1}{3}$ замість $1\dfrac{1}{3}$). Завжди перевіряйте, з якого саме числа починається числовий ряд.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.