Вправа 21.8 — ГДЗ Алгебра 9 клас Істер
Вправа 21.8. Знайдіть знаменник $q$, де $|q| < 1$, нескінченної геометричної прогресії $(b_n)$, якщо:
- $S = 10$, $b_1 = 5$;
- $S = 9$, $b_1 = 15$.
1) $S = 10$, $b_1 = 5$
$q = 1 - \dfrac{b_1}{S} = 1 - \dfrac{5}{10} = 1 - \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{2}$.
2) $S = 9$, $b_1 = 15$
$q = 1 - \dfrac{b_1}{S} = 1 - \dfrac{15}{9} = 1 - \dfrac{5}{3} = -\dfrac{2}{3}$.
Сума нескінченної геометричної прогресії
$S = \dfrac{b_1}{1-q}$, де $|q| < 1$.
Виразити знаменник
Із $S = \dfrac{b_1}{1-q}$:
$S(1-q) = b_1$;
$1-q = \dfrac{b_1}{S}$;
$q = 1 - \dfrac{b_1}{S}$.
Умова збіжності
Після знаходження $q$ обов'язково перевіряємо $|q| < 1$. Якщо умова не виконана — задача не має розв'язку.
Звідки формула $q = 1 - \dfrac{b_1}{S}$? Із $S(1-q) = b_1$ ділимо на $S$: $1-q = \dfrac{b_1}{S}$, потім переносимо $q$: $q = 1 - \dfrac{b_1}{S}$. Три елементарні кроки.
Чому в пункті 2) знаменник від'ємний? Якщо $b_1 > S$, то $\dfrac{b_1}{S} > 1$, і $q = 1 - \dfrac{b_1}{S} < 0$. Тут $b_1 = 15 > S = 9$ — умова виконана, тому $q < 0$. Прогресія знакочергується, але збігається, бо $\left|-\dfrac{2}{3}\right| = \dfrac{2}{3} < 1$.
Перевірка. 1) $\dfrac{5}{1 - \frac{1}{2}} = \dfrac{5}{\frac{1}{2}} = 10$ ✓. 2) $\dfrac{15}{1 - (-\frac{2}{3})} = \dfrac{15}{\frac{5}{3}} = 15 \cdot \dfrac{3}{5} = 9$ ✓.
Часта помилка. В пункті 2) записати $q = \dfrac{2}{3}$ без мінуса: $1 - \dfrac{5}{3} = \dfrac{3-5}{3} = -\dfrac{2}{3}$, а не $+\dfrac{2}{3}$. Перевіряй знак.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.