Вправа 23.26 — ГДЗ Алгебра 9 клас Істер
Вправа 23.26. Відомо, що $x_1$ і $x_2$ — корені рівняння $5x^2 + 7x - 9 = 0$. Не розв'язуючи рівняння, знайдіть $x_1^3 x_2 + x_2^3 x_1$.
За теоремою Вієта: $x_1 + x_2 = -\dfrac{7}{5}$, $x_1 x_2 = -\dfrac{9}{5}$.
$x_1^3 x_2 + x_2^3 x_1 = x_1 x_2 (x_1^2 + x_2^2)$.
$x_1^2 + x_2^2 = (x_1+x_2)^2 - 2x_1 x_2 =$
$= \dfrac{49}{25} + \dfrac{18}{5} = \dfrac{49}{25} + \dfrac{90}{25} = \dfrac{139}{25}$.
$x_1^3 x_2 + x_2^3 x_1 = -\dfrac{9}{5} \cdot \dfrac{139}{25} = -\dfrac{1251}{125}$.
Теорема Вієта (загальний вигляд)
Для $ax^2 + bx + c = 0$: $x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a}$, $x_1 x_2 = \dfrac{c}{a}$.
Сума квадратів коренів
$x_1^2 + x_2^2 = (x_1+x_2)^2 - 2x_1 x_2$.
Ключовий прийом — винесення спільного множника: $x_1^3 x_2 + x_2^3 x_1 = x_1 x_2(x_1^2 + x_2^2)$. Після цього обидва множники виражаються через $x_1+x_2$ і $x_1 x_2$, які відомі з Вієта.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.