Вправа 24.11 — ГДЗ Алгебра 9 клас Істер
Вправа 24.11. У кошику $5$ червоних, $3$ зелених і $2$ жовтих яблука. Навмання вибирають одне яблуко. Яка ймовірність того, що це яблуко виявиться:
- червоним;
- зеленим;
- червоним або жовтим;
- не червоним?
Усього в кошику $n = 5 + 3 + 2 = 10$ яблук — це кількість усіх рівноможливих результатів. Ймовірність обчислюємо за формулою $p = \dfrac{m}{n}$, де $m$ — кількість сприятливих випадків.
1) Червоне яблуко
Сприятливих випадків $m = 5$ (червоних яблук). $p = \dfrac{5}{10} = \dfrac{1}{2}$.
2) Зелене яблуко
$m = 3$ (зелених). $p = \dfrac{3}{10}$.
3) Червоне або жовте яблуко
Сприятливі — і червоні, і жовті: $m = 5 + 2 = 7$. $p = \dfrac{7}{10}$.
4) Не червоне яблуко
Подія «не червоне» протилежна до «червоне». Сума ймовірностей протилежних подій дорівнює $1$, тому $p = 1 - \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{2}$.
Або напряму: сприятливі — зелені й жовті, $m = 3 + 2 = 5$, $p = \dfrac{5}{10} = \dfrac{1}{2}$. $p = \dfrac{1}{2}$.
Класичне означення ймовірності
$p(A) = \dfrac{m}{n}$, де $n$ — кількість усіх рівноможливих результатів, $m$ — кількість результатів, що сприяють події $A$.
Ймовірність — число від $0$ до $1$. Іноді її записують у відсотках, тоді $p \in [0\%;\,100\%]$.
Граничні значення ймовірності
Вірогідна подія (відбудеться напевно): $p = 1$.
Неможлива подія: $p = 0$.
Випадкова подія: $0 < p < 1$.
Подія «або» (об'єднання)
Якщо події не можуть статися одночасно (наприклад, яблуко не буває одночасно червоним і жовтим), то сприятливі випадки додаються:
$m_{A \text{ або } B} = m_A + m_B$.
Протилежна подія («не A»)
$p(\text{не } A) = 1 - p(A)$.
Сума ймовірностей події та протилежної їй завжди $= 1$.
Комбінаторні правила (для підрахунку $n$ і $m$)
Правило суми: якщо об'єкт можна вибрати $a$ способами або $b$ способами (несумісні варіанти) — всього $a + b$ способів.
Правило добутку: якщо вибір складається з двох незалежних кроків — $a$ способів на першому і $b$ на другому — всього $a \cdot b$ способів.
Кількість перестановок $n$ елементів: $n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot n$.
Чому в (3) ми просто складаємо $5 + 2$? Тому що події «червоне» і «жовте» несумісні — одне яблуко не може бути одночасно і червоним, і жовтим. Для несумісних подій кількості сприятливих випадків додаються. Якщо би події могли перетинатися (наприклад, «червоне» і «солодке»), формула була б складніша: треба віднімати спільні випадки.
Дві дороги до відповіді в (4). Перший шлях — через протилежну подію: $p(\text{не червоне}) = 1 - p(\text{червоне}) = 1 - \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{2}$. Другий — підрахунком: «не червоне» = «зелене або жовте» = $\dfrac{3+2}{10} = \dfrac{1}{2}$. Обидва дають однакову відповідь. Перший швидший, коли ймовірність основної події вже відома.
Перевірка цілого набору. Сума ймовірностей усіх можливих несумісних подій дорівнює $1$. Перевіримо: $p(\text{черв.}) + p(\text{зел.}) + p(\text{жовт.}) = \dfrac{5}{10} + \dfrac{3}{10} + \dfrac{2}{10} = \dfrac{10}{10} = 1$ ✓. Якщо в підрахунках не виходить $1$ — десь помилка.
Спрощення дробів. Завжди скорочуй: $\dfrac{5}{10} = \dfrac{1}{2}$, $\dfrac{6}{36} = \dfrac{1}{6}$. Нескорочений дріб формально правильний, але вчителі зазвичай очікують саме скорочений вигляд.
Часті помилки. 1) В (3) написати $\dfrac{5}{10} + \dfrac{2}{10} = \dfrac{7}{20}$ — помилка, дроби з однаковим знаменником додаються в чисельниках, знаменник залишається. 2) В (4) забути, що «не A» включає усі інші випадки. 3) Помилитися в підрахунку $n$: пропустити одну з груп.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.