Вправа 24.33 — ГДЗ Алгебра 9 клас Істер
Вправа 24.33. Доведіть, що значення виразу $\dfrac{a - 20}{(a-5)^2} : \left(\dfrac{a}{a^2-25} - \dfrac{a-8}{a^2-10a+25}\right)$ додатне, якщо $a < -5$.
$a^2 - 25 = (a-5)(a+5)$.
$a^2 - 10a + 25 = (a-5)^2$.
Вираз у дужках:
$\dfrac{a}{(a-5)(a+5)} - \dfrac{a-8}{(a-5)^2} =$
$= \dfrac{a(a-5) - (a-8)(a+5)}{(a-5)^2(a+5)}$.
Чисельник:
$a^2 - 5a - (a^2 + 5a - 8a - 40) =$
$= a^2 - 5a - a^2 + 3a + 40 =$
$= -2a + 40 = 2(20 - a)$.
Вираз у дужках $= \dfrac{2(20 - a)}{(a-5)^2(a+5)}$.
Весь вираз:
$\dfrac{a-20}{(a-5)^2} \cdot \dfrac{(a-5)^2(a+5)}{2(20-a)} =$
$= \dfrac{(a-20)(a+5)}{2(20-a)} =$
$= \dfrac{-(20-a)(a+5)}{2(20-a)} =$
$= -\dfrac{a+5}{2} = \dfrac{-a-5}{2}$.
При $a < -5$: $-a > 5$, тому $-a - 5 > 0$, отже $\dfrac{-a-5}{2} > 0$. ∎
Формули скороченого множення
$a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.
$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
Ділення дробів
$\dfrac{A}{B} : \dfrac{C}{D} = \dfrac{A}{B} \cdot \dfrac{D}{C}$.
Ключовий момент — скорочення: $\dfrac{a-20}{20-a} = \dfrac{-(20-a)}{20-a} = -1$. Це дозволяє спростити вираз до $\dfrac{-a-5}{2}$.
Чому додатне? При $a < -5$ маємо $-a > 5$, тобто $-a - 5 > 0$. Ділимо на $2 > 0$ — знак зберігається.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.