Вправа 24.34 — ГДЗ Алгебра 9 клас Істер
Вправа 24.34. Розв'яжіть систему рівнянь
$\begin{cases} \dfrac{y}{2x} - \dfrac{x}{y} = \dfrac{1}{2}, \\ y^2 - 5xy + 2x^2 = 32. \end{cases}$
З першого рівняння зведемо до спільного знаменника:
$\dfrac{y^2 - 2x^2}{2xy} = \dfrac{1}{2}$.
$y^2 - 2x^2 = xy$.
Підставимо $y^2 = 2x^2 + xy$ у друге рівняння:
$2x^2 + xy - 5xy + 2x^2 = 32$.
$4x^2 - 4xy = 32$.
$x^2 - xy = 8$.
$x(x - y) = 8$, звідки $y = x - \dfrac{8}{x}$.
Підставимо у $y^2 - 2x^2 = xy$:
$\left(x - \dfrac{8}{x}\right)^2 - 2x^2 = x\left(x - \dfrac{8}{x}\right)$.
$x^2 - 16 + \dfrac{64}{x^2} - 2x^2 = x^2 - 8$.
$-2x^2 + \dfrac{64}{x^2} - 8 = 0$.
Помножимо на $x^2$:
$-2x^4 - 8x^2 + 64 = 0$.
$x^4 + 4x^2 - 32 = 0$.
$(x^2 + 8)(x^2 - 4) = 0$.
$x^2 = -8$ — розв'язків немає; $x^2 = 4$, $x = \pm 2$.
$x = 2$: $y = 2 - 4 = -2$.
$x = -2$: $y = -2 + 4 = 2$.
Біквадратне рівняння
$x^4 + bx^2 + c = 0$ — заміна $t = x^2$, $t \geqslant 0$.
Перевірка $(2;\,-2)$: $\dfrac{-2}{4} - \dfrac{2}{-2} = -\dfrac{1}{2} + 1 = \dfrac{1}{2}$ ✓. $4 + 20 + 8 = 32$ ✓.
Перевірка $(-2;\,2)$: $\dfrac{2}{-4} - \dfrac{-2}{2} = -\dfrac{1}{2} + 1 = \dfrac{1}{2}$ ✓. $4 + 20 + 8 = 32$ ✓.
Біквадратне рівняння $x^4 + 4x^2 - 32 = 0$ розкладається: $t^2 + 4t - 32 = 0$, $t = 4$ або $t = -8$. Лише $t = 4$ підходить ($t = x^2 \geqslant 0$).
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.