Вправа 25.11 — ГДЗ Алгебра 9 клас Істер
Вправа 25.11. (Київська обласна олімпіада юних математиків, 2016 рік.) Скільки існує трицифрових чисел з ненульовими цифрами, які мають таку властивість: за будь-якої перестановки цифр отримаємо трицифрове число, що ділиться націло на 4?
Число ділиться на $4$, якщо число з його двох останніх цифр ділиться на $4$.
Нехай цифри числа — $a$, $b$, $c$ (кожна від $1$ до $9$). Потрібно, щоб для будь-якої перестановки $(a, b, c)$ двоцифрове число з останніх двох цифр ділилося на $4$.
Тобто числа $\overline{ab}$, $\overline{ba}$, $\overline{ac}$, $\overline{ca}$, $\overline{bc}$, $\overline{cb}$ — усі кратні $4$.
Для будь-яких двох цифр $x$, $y$ з набору: $10x + y \equiv 0 \pmod{4}$ і $10y + x \equiv 0 \pmod{4}$.
Різниця: $(10x + y) - (10y + x) = 9(x - y) \equiv x - y \pmod{4}$.
Тобто $x \equiv y \pmod{4}$ для будь-яких двох цифр з набору.
Сума: $(10x + y) + (10y + x) = 11(x + y) \equiv 3(x+y) \pmod{4}$. З умов: $3(x+y) \equiv 0 \pmod{4}$, тобто $x + y \equiv 0 \pmod{4}$. Оскільки $x \equiv y \pmod{4}$, маємо $2x \equiv 0 \pmod{4}$, тобто $x \equiv 0 \pmod{2}$, а з урахуванням $x \equiv y$: $x \equiv 0 \pmod{4}$.
Отже, усі цифри $\equiv 0 \pmod{4}$, тобто $\in \{4, 8\}$.
Кількість трицифрових чисел із цифр $4$ і $8$: $2^3 = 8$.
Ознака подільності на 4
Число ділиться на $4$ тоді і тільки тоді, коли двоцифрове число з його двох останніх цифр ділиться на $4$.
Перевірка: $444$: перестановки $444$ — завжди $44 \div 4 = 11$ ✓. $448$: перестановки — $448$ ($48 \div 4 = 12$ ✓), $484$ ($84 \div 4 = 21$ ✓), $844$ ($44 \div 4 = 11$ ✓). Аналогічно для всіх інших.
Повний список: $444$, $448$, $484$, $488$, $844$, $848$, $884$, $888$.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.