Вправа 26.26 — ГДЗ Алгебра 9 клас Істер
Вправа 26.26. За яких значень $a$ рівняння $\dfrac{ax^2 - 8x + a}{x - 2} = 0$ має єдиний розв'язок?
Дріб $= 0$ ⟺ чисельник $= 0$ і знаменник $\neq 0$, тобто $ax^2 - 8x + a = 0$ при $x \neq 2$.
Випадок $a = 0$:
$-8x = 0$, $x = 0 \neq 2$ — єдиний розв'язок ✓.
Випадок $a \neq 0$ — квадратне рівняння. Єдиний розв'язок вихідного рівняння можливий у двох ситуаціях.
Ситуація 1: $D = 0$ (один корінь квадратного рівняння, і він $\neq 2$).
$D = 64 - 4a^2 = 0$.
$a^2 = 16$, $a = \pm 4$.
При $a = 4$: $4x^2 - 8x + 4 = 0$, $4(x-1)^2 = 0$, $x = 1 \neq 2$ ✓.
При $a = -4$: $-4x^2 - 8x - 4 = 0$, $-4(x+1)^2 = 0$, $x = -1 \neq 2$ ✓.
Ситуація 2: $D > 0$, але один із коренів $= 2$ (він відкидається, залишається єдиний).
Підставимо $x = 2$ у чисельник: $4a - 16 + a = 0$, $5a = 16$, $a = \dfrac{16}{5}$.
Перевірка: $\dfrac{16}{5}x^2 - 8x + \dfrac{16}{5} = 0$, $16x^2 - 40x + 16 = 0$, $2x^2 - 5x + 2 = 0$.
$x = \dfrac{5 \pm 3}{4}$: $x_1 = 2$, $x_2 = \dfrac{1}{2}$.
$x = 2$ відкидаємо, залишається $x = \dfrac{1}{2}$ — єдиний ✓.
Дробово-раціональне рівняння
$\dfrac{f(x)}{g(x)} = 0$ ⟺ $f(x) = 0$ і $g(x) \neq 0$.
Дискримінант
$D = b^2 - 4ac$. $D = 0$ — один корінь. $D > 0$ — два корені.
Задача має чотири відповіді — легко втратити одну з них. Три джерела єдиного розв'язку:
1) $a = 0$ — рівняння стає лінійним (один корінь).
2) $D = 0$ — квадратне рівняння з одним коренем ($a = \pm 4$).
3) $D > 0$, але один корінь «заборонений» ($x = 2$) — залишається один ($a = \dfrac{16}{5}$).
Часта помилка: забути випадок $a = 0$ або ситуацію 2 з «втраченим» коренем.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.