Вправа 3.15 — ГДЗ Алгебра 9 клас Істер
Вправа 3.15. Відомо, що $x > 3$, $y > 4$. Чи правильне твердження:
- $x + y > 7$;
- $x + y > 6$;
- $x + y > 8$;
- $xy > 12$;
- $xy > 13$;
- $xy > 10$.
Маємо: $x > 3$, $y > 4$. Мінімально можливі значення — числа трохи більші за $3$ і $4$.
1) $x + y > 7$
Додаємо нерівності: $x > 3$, $y > 4$.
$x + y > 3 + 4$;
$x + y > 7$ — правильне твердження.
2) $x + y > 6$
Оскільки вже доведено, що $x + y > 7$, то тим більше $x + y > 6$.
Твердження правильне.
3) $x + y > 8$
Можна взяти значення дуже близькі до $3$ і $4$: наприклад, $x = 3{,}1$, $y = 4{,}1$.
Тоді $x + y = 7{,}2 \not> 8$.
Отже, твердження неправильне.
4) $xy > 12$
Множимо нерівності $x > 3$, $y > 4$ (обидва числа додатні):
$xy > 3 \cdot 4$;
$xy > 12$ — правильне твердження.
5) $xy > 13$
Можна взяти $x$ і $y$ дуже близькими до $3$ і $4$, наприклад $x = 3{,}01$, $y = 4{,}01$.
Тоді $xy \approx 12{,}0801 \not> 13$.
Отже, твердження неправильне.
6) $xy > 10$
Оскільки вже маємо $xy > 12$, то тим більше $xy > 10$.
Твердження правильне.
Додавання та множення нерівностей
Якщо $x > a$ і $y > b$, то $x + y > a + b$.
Якщо $x > a > 0$ і $y > b > 0$, то $xy > ab$.
Ідея задачі. Ми не шукаємо точні $x$ і $y$, а дивимось, чи можна підібрати приклад, що спростовує твердження, або довести його з уже відомих нерівностей.
Як перевіряти твердження. Якщо вираз явно більший за деяке число (наприклад, $x+y > 7$), то будь-яка менша межа (6) теж підходить; щоб спростувати завелику межу (8 чи 13), достатньо одного контрприкладу з числами «близько до» 3 і 4.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.