Вправа 3.19 — ГДЗ Алгебра 9 клас Істер
Вправа 3.19. Дано: $5 < a < 10$, $1 < b < 2$. Оцініть значення виразу:
- $\dfrac{a}{b}$;
- $\dfrac{4b}{3a}$.
Маємо: $5 < a < 10$, $1 < b < 2$. Обидві змінні додатні.
1) $\dfrac{a}{b}$
Оскільки $1 < b < 2$ і всі числа додатні, перейдемо до обернених значень (знак змінюється):
$\dfrac{1}{2} < \dfrac{1}{b} < 1$.
Помножимо нерівність для $a$ і $\dfrac{1}{b}$ (обидві додатні):
$5 \cdot \dfrac{1}{2} < \dfrac{a}{b} < 10 \cdot 1$;
$\dfrac{5}{2} < \dfrac{a}{b} < 10$;
$2{,}5 < \dfrac{a}{b} < 10$.
2) $\dfrac{4b}{3a}$
Помножимо нерівність для $b$ на $4$:
$4 < 4b < 8$.
Перейдемо до обернених значень для $a$ (знак змінюється):
$\dfrac{1}{10} < \dfrac{1}{a} < \dfrac{1}{5}$.
Помножимо на $3$:
$\dfrac{3}{10} < \dfrac{3}{a} < \dfrac{3}{5}$.
Перейдемо до обернених значень (знак змінюється):
$\dfrac{5}{3} < \dfrac{a}{3} < \dfrac{10}{3}$, тобто $\dfrac{3}{10} < \dfrac{1}{a/3} < \dfrac{3}{5}$.
Помножимо нерівності $4 < 4b < 8$ і $\dfrac{1}{10} < \dfrac{1}{a} < \dfrac{1}{5}$:
$4 \cdot \dfrac{1}{10} < \dfrac{4b}{a} < 8 \cdot \dfrac{1}{5}$;
$\dfrac{4}{10} < \dfrac{4b}{a} < \dfrac{8}{5}$.
Поділимо на $3$ (або помножимо на $\dfrac{1}{3}$):
$\dfrac{4}{30} < \dfrac{4b}{3a} < \dfrac{8}{15}$;
$\dfrac{2}{15} < \dfrac{4b}{3a} < \dfrac{8}{15}$.
Оцінка дробу
Якщо $a < x < b$ (всі числа додатні), то $\dfrac{1}{b} < \dfrac{1}{x} < \dfrac{1}{a}$ (знак змінюється).
Для оцінки $\dfrac{x}{y}$ можна перейти до $x \cdot \dfrac{1}{y}$ і помножити нерівності.
Ключова ідея. Дріб $\dfrac{a}{b}$ — це те саме, що добуток $a \cdot \dfrac{1}{b}$. Тому спочатку «перевертаємо» нерівність для $b$, отримуючи межі для $\dfrac{1}{b}$, потім множимо на $a$.
Чому знак змінюється при переході до оберненого. Якщо $1 < b < 2$, то більше число $b=2$ дає менше обернене $\dfrac{1}{2}$, а менше $b=1$ дає більше обернене $1$. Тому порядок міняється.
Перевірка. Візьми $a = 6$, $b = 1{,}5$. Тоді $\dfrac{a}{b} = \dfrac{6}{1{,}5} = 4$, і дійсно $2{,}5 < 4 < 10$ ✓.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.