Вправа 3.26 — ГДЗ Алгебра 9 клас Істер
Вправа 3.26. Доведіть нерівність:
- $(x^3 + y)(x + y^3) \geqslant 4x^2y^2$, якщо $x \geqslant 0$, $y \geqslant 0$;
- $(m+6)(n+3)(p+2) \geqslant 48\sqrt{mnp}$, якщо $m \geqslant 0$, $n \geqslant 0$, $p \geqslant 0$;
- $(a+1)(b+1)(c+1) > 32$, якщо $a > 0$, $b > 0$, $c > 0$ і $abc = 16$.
1) $(x^3 + y)(x + y^3) \geqslant 4x^2y^2$
Розкриємо дужки:
$(x^3+y)(x+y^3) = x^4 + x^3y^3 + xy + y^4$.
За нерівністю між середнім арифметичним і геометричним:
$x^4 + y^4 \geqslant 2x^2y^2$,
$x^3y^3 + xy \geqslant 2\sqrt{x^3y^3 \cdot xy} = 2x^2y^2$.
Складаємо:
$x^4 + x^3y^3 + xy + y^4 \geqslant 4x^2y^2$. $\blacksquare$
2) $(m+6)(n+3)(p+2) \geqslant 48\sqrt{mnp}$
До кожного множника застосуємо AM-GM (нерівність між середнім арифметичним і геометричним):
$m + 6 \geqslant 2\sqrt{6m}$,
$n + 3 \geqslant 2\sqrt{3n}$,
$p + 2 \geqslant 2\sqrt{2p}$.
Множимо (всі частини невід'ємні):
$(m+6)(n+3)(p+2) \geqslant 8\sqrt{6m \cdot 3n \cdot 2p} =$
$= 8\sqrt{36mnp} = 8 \cdot 6\sqrt{mnp} = 48\sqrt{mnp}$. $\blacksquare$
3) $(a+1)(b+1)(c+1) > 32$, $abc = 16$
За AM-GM: $a+1 \geqslant 2\sqrt{a}$, $b+1 \geqslant 2\sqrt{b}$, $c+1 \geqslant 2\sqrt{c}$.
Множимо:
$(a+1)(b+1)(c+1) \geqslant 8\sqrt{abc} = 8\sqrt{16} = 32$.
Рівність у AM-GM досягається лише при $a = b = c = 1$, але тоді $abc = 1 \neq 16$. Отже рівність неможлива, і нерівність строга:
$(a+1)(b+1)(c+1) > 32$. $\blacksquare$
Нерівність AM-GM - нерівність між середнім арифметичним і геометричним (для двох чисел)
Для $a \geqslant 0$, $b \geqslant 0$: $\dfrac{a+b}{2} \geqslant \sqrt{ab}$, тобто $a + b \geqslant 2\sqrt{ab}$.
Рівність досягається тоді і тільки тоді, коли $a = b$.
Множення нерівностей
Якщо $a_1 \geqslant b_1 \geqslant 0$, $a_2 \geqslant b_2 \geqslant 0$, то $a_1 a_2 \geqslant b_1 b_2$.
Ключова ідея всіх трьох пунктів — нерівність AM-GM нерівність між середнім арифметичним і геометричним: $a + b \geqslant 2\sqrt{ab}$. У п. 1) вона застосовується двічі до різних пар, у п. 2-3) — до кожного множника окремо.
Чому в п. 3) нерівність строга? AM-GM дає нестроге $\geqslant 32$. Але рівність можлива лише при $a=b=c=1$, а тоді $abc=1$, що суперечить умові $abc=16$. Отже рівність недосяжна — нерівність строга.
П. 1) можна довести й інакше — через розкладання $(x^2-y^2)^2 \geqslant 0$ і $(x^3y^3 - xy)^2/(2xy) \geqslant 0$, але AM-GM коротший.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.