Вправа 3.27 — ГДЗ Алгебра 9 клас Істер
Вправа 3.27. Доведіть нерівність:
- $(mn+1)(m+n) \geqslant 4mn$, якщо $m \geqslant 0$, $n \geqslant 0$;
- $(a+2c)(b+2a)(c+2b) \geqslant 16\sqrt{2}\,abc$, якщо $a \geqslant 0$, $b \geqslant 0$, $c \geqslant 0$;
- $(x+3)(y+3)(z+3) > 72$, якщо $x > 0$, $y > 0$, $z > 0$ і $xyz = 3$.
1) $(mn+1)(m+n) \geqslant 4mn$
За нерівністю AM-GM:
$mn + 1 \geqslant 2\sqrt{mn}$,
$m + n \geqslant 2\sqrt{mn}$.
Множимо (обидві частини невід'ємні):
$(mn+1)(m+n) \geqslant 4mn$. $\blacksquare$
2) $(a+2c)(b+2a)(c+2b) \geqslant 16\sqrt{2}\,abc$
За AM-GM до кожного множника:
$a + 2c \geqslant 2\sqrt{2ac}$,
$b + 2a \geqslant 2\sqrt{2ab}$,
$c + 2b \geqslant 2\sqrt{2bc}$.
Множимо:
$(a+2c)(b+2a)(c+2b) \geqslant 8\sqrt{2ac \cdot 2ab \cdot 2bc} =$
$= 8\sqrt{8a^2b^2c^2} = 8 \cdot 2\sqrt{2} \cdot abc = 16\sqrt{2}\,abc$. $\blacksquare$
3) $(x+3)(y+3)(z+3) > 72$, $xyz = 3$
За AM-GM:
$x + 3 \geqslant 2\sqrt{3x}$, $y + 3 \geqslant 2\sqrt{3y}$, $z + 3 \geqslant 2\sqrt{3z}$.
Множимо:
$(x+3)(y+3)(z+3) \geqslant 8\sqrt{27xyz} = 8\sqrt{27 \cdot 3} = 8\sqrt{81} = 72$.
Рівність у AM-GM досягається при $x = 3$, $y = 3$, $z = 3$, але тоді $xyz = 27 \neq 3$. Отже рівність неможлива:
$(x+3)(y+3)(z+3) > 72$. $\blacksquare$
Нерівність AM-GM (для двох чисел)
Для $a \geqslant 0$, $b \geqslant 0$: $a + b \geqslant 2\sqrt{ab}$.
Рівність — тільки при $a = b$.
Множення нерівностей
Якщо $a_i \geqslant b_i \geqslant 0$ для $i = 1, 2, 3$, то $a_1 a_2 a_3 \geqslant b_1 b_2 b_3$.
Як вибрати, що підставляти в AM-GM? Дивимося на правий бік нерівності — там стоїть добуток змінних під коренем. Це і є $\sqrt{ab}$ з формули. Звідси бачимо, які саме пари треба «бачити» у кожному множнику ліворуч.
П. 3) — та сама логіка, що в 3.26 п. 3). AM-GM дає нестроге $\geqslant$, але умова на добуток ($xyz=3$) унеможливлює рівність — і нерівність стає строгою.
П. 2): перевірка добутку під коренем. $2ac \cdot 2ab \cdot 2bc = 8a^2b^2c^2$, $\sqrt{8a^2b^2c^2} = 2\sqrt{2}\cdot abc$ — саме це і потрібно отримати.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.