Вправа 3.32 — ГДЗ Алгебра 9 клас Істер
Вправа 3.32. Обчисліть: $\dfrac{\sqrt{5}-\sqrt{2}}{\sqrt{5}+\sqrt{2}}+\dfrac{\sqrt{5}+\sqrt{2}}{\sqrt{5}-\sqrt{2}}$.
$\dfrac{\sqrt{5}-\sqrt{2}}{\sqrt{5}+\sqrt{2}}+\dfrac{\sqrt{5}+\sqrt{2}}{\sqrt{5}-\sqrt{2}} =$
$= \dfrac{(\sqrt{5}-\sqrt{2})^2 + (\sqrt{5}+\sqrt{2})^2}{(\sqrt{5}+\sqrt{2})(\sqrt{5}-\sqrt{2})} =$
$= \dfrac{(5 - 2\sqrt{10} + 2)+(5 + 2\sqrt{10} + 2)}{5-2} =$
$= \dfrac{14}{3}$.
Зведення дробів до спільного знаменника
$\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a} = \dfrac{a^2+b^2}{ab}$.
Різниця квадратів і квадрат суми/різниці
$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$.
$(a\pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2$.
Ключове спостереження. Два дроби виду $\frac{a}{b}+\frac{b}{a}$ зручно зводити до спільного знаменника $ab$ одразу. Знаменник $(\sqrt{5}+\sqrt{2})(\sqrt{5}-\sqrt{2}) = 5-2 = 3$ — без коренів.
У чисельнику $\sqrt{10}$ скорочуються: $-2\sqrt{10}+2\sqrt{10}=0$. Залишається $7+7=14$.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.