Вправа 3.33 — ГДЗ Алгебра 9 класІстер
Вправа 3.33. Побудуйте графік функції $y = \dfrac{12 - 6x}{x^2 - 2x}$.
1) Знайдемо область визначення функції $D(y)$:
$x^2 - 2x \neq 0$;
$x(x - 2) \neq 0$;
$x \neq 0$ та $x \neq 2$.
2) Спростимо вираз, що задає функцію:
$y = \dfrac{12 - 6x}{x^2 - 2x} = \dfrac{-6(x - 2)}{x(x - 2)}$.
Оскільки $x \neq 2$, дріб можна скоротити на $(x - 2)$:
$y = -\dfrac{6}{x}$, де $x \neq 0$ і $x \neq 2$.
3) Графіком функції є гіпербола $y = -\dfrac{6}{x}$ з виколотою точкою.
Знайдемо координати виколотої точки при $x = 2$:
$y(2) = -\dfrac{6}{2} = -3$.
Отже, на графіку має бути виколота точка $(2; -3)$.
Таблиця значень для гіперболи $y = -\dfrac{6}{x}$:
| $x$ | $-6$ | $-3$ | $-2$ | $-1$ | $1$ | $3$ | $6$ |
| $y$ | $1$ | $2$ | $3$ | $6$ | $-6$ | $-2$ | $-1$ |
Область визначення дробової функції
Знаменник дробу не може дорівнювати нулю. Якщо функція має вигляд $y = \dfrac{f(x)}{g(x)}$, то обов'язковою умовою є $g(x) \neq 0$.
Тотожні перетворення та скорочення
Скорочувати дріб на вираз зі змінною можна лише за умови, що цей вираз не дорівнює нулю.
Винесення спільного множника за дужки: $ab - ac = a(b - c)$.
Графік оберненої пропорційності
Графіком функції виду $y = \dfrac{k}{x}$ є гіпербола.
Якщо $k < 0$, вітки гіперболи розташовані у II та IV координатних чвертях.
Головна пастка: сліпе скорочення. Якщо ти одразу кинешся виносити спільні множники і скорочувати дріб, ти отримаєш функцію $y = -\dfrac{6}{x}$. Здавалося б, усе просто — малюємо гіперболу і готово. Але це груба помилка!
Крок 1. Шукаємо заборонені точки (ОДЗ). Розв'язуємо рівняння $x^2 - 2x = 0$. Виносимо $x$ за дужки: $x(x - 2) = 0$. Маємо два заборонених значення: $x = 0$ та $x = 2$. При $x = 0$ гіпербола і так не існує (це асимптота), а от точка $x = 2$ — це наша проблема. На графіку в цьому місці має бути дірка.
Крок 2. Скорочуємо дріб. У чисельнику $12 - 6x$ ми навмисно виносимо не просто $6$, а $-6$. Навіщо? Щоб змінити знаки в дужках і отримати точнісінько такий самий вираз $(x - 2)$, як і в знаменнику. Отримуємо: $\dfrac{-6(x - 2)}{x(x - 2)}$. Тепер сміливо скорочуємо, пам'ятаючи умову $x \neq 2$.
Крок 3. Як правильно поставити дірку? Щоб дізнатися координати виколотої точки, підставляємо заборонений $x = 2$ у нашу вже спрощену функцію $y = -\dfrac{6}{x}$. Отримуємо $y = -3$. Отже, будуємо звичайну гіперболу, знаходимо на ній точку з координатами $(2; -3)$ і малюємо на її місці порожнє кружечко.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.