Вправа 3.39 — ГДЗ Алгебра 9 клас Істер
Вправа 3.39. Побудуйте графік функції:
1) $y = \dfrac{x^2 - 4}{x - 2}$;
2) $y = \dfrac{x^3 - x^2}{x - 1}$.
1) Побудуємо графік функції $y = \dfrac{x^2 - 4}{x - 2}$:
Знайдемо область визначення функції: $x - 2 \neq 0$, тобто $x \neq 2$.
Спростимо вираз, розклавши чисельник за формулою різниці квадратів:
$$y = \dfrac{(x - 2)(x + 2)}{x - 2}$$
Оскільки $x \neq 2$, скоротимо дріб на $(x - 2)$:
$y = x + 2$, де $x \neq 2$.
Графіком функції є пряма $y = x + 2$ з виколотою точкою, абсциса якої $x = 2$.
Знайдемо ординату виколотої точки: $y(2) = 2 + 2 = 4$. Тобто координати виколотої точки — $(2; 4)$.
Таблиця значень для прямої $y = x + 2$:
| $x$ | $0$ | $-2$ |
| $y$ | $2$ | $0$ |
2) Побудуємо графік функції $y = \dfrac{x^3 - x^2}{x - 1}$:
Знайдемо область визначення функції: $x - 1 \neq 0$, тобто $x \neq 1$.
Спростимо вираз, винісши $x^2$ у чисельнику за дужки:
$$y = \dfrac{x^2(x - 1)}{x - 1}$$
Оскільки $x \neq 1$, скоротимо дріб на $(x - 1)$:
$y = x^2$, де $x \neq 1$.
Графіком функції є парабола $y = x^2$ з виколотою точкою, абсциса якої $x = 1$.
Знайдемо ординату виколотої точки: $y(1) = 1^2 = 1$. Тобто координати виколотої точки — $(1; 1)$.
Таблиця значень для параболи $y = x^2$:
| $x$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ (вик.) | $2$ |
| $y$ | $4$ | $1$ | $0$ | $1$ | $4$ |
2) Графік — парабола $y = x^2$ з виколотою точкою $(1; 1)$.
Область визначення виразу (ОДЗ)
Ділення на нуль у математиці заборонене. Якщо у знаменнику дробу є змінна, необхідно виключити ті значення, які перетворюють знаменник на нуль: $g(x) \neq 0$.
Скорочення раціональних дробів
Раціональний дріб можна скоротити на спільний множник чисельника і знаменника лише за умови, що цей множник не дорівнює нулю.
Формула різниці квадратів: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.
Головна суть завдання: Обидві функції містять змінну у знаменнику, тому перед побудовою графіків обов'язково треба знайти "заборонені" точки (область визначення).
Розбір першого пункту: Розкладаємо чисельник за формулою різниці квадратів: $x^2 - 4 = (x-2)(x+2)$. Знаменник $x-2$ не може бути нулем, тому $x \neq 2$. Скоротивши на $(x-2)$, маємо лінійну функцію $y = x + 2$. Графіком є звичайна пряма, але в точці $x=2$ ми робимо "дірку". Підставивши $x=2$ у спрощене рівняння, отримуємо $y=4$. Точка $(2; 4)$ — порожня.
Розбір другого пункту: У чисельнику $x^3 - x^2$ виносимо спільний множник $x^2$ за дужки, отримуємо $x^2(x-1)$. Знаменник $x-1 \neq 0 \implies x \neq 1$. Скорочуємо дужки і отримуємо квадратичну функцію $y = x^2$. Будуємо стандартну параболу, але точку $(1; 1)$ малюємо порожнім кружечком, бо при $x=1$ початкова функція не існує.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.