Вправа 4.14 — ГДЗ Алгебра 9 клас Істер
Вправа 4.14. Розв'яжіть нерівність:
- $\dfrac{x + 2}{x + 2} > 0{,}5$;
- $\dfrac{x - 3}{x - 3} \leqslant 0{,}7$;
- $\left(\dfrac{x + 1}{x}\right)^2 \geqslant 0$;
- $\left(\dfrac{x + 1}{x}\right)^2 > 0$;
- $\dfrac{(x + 3)^2}{x} > 0$;
- $\dfrac{(x - 1)^2}{x} \leqslant 0$.
У всіх нерівностях спочатку випишемо ОДЗ (знаменник не дорівнює нулю), потім скористаємось властивостями: $\dfrac{A}{A} = 1$ при $A \neq 0$ і $B^2 \geqslant 0$ для будь-якого $B$.
1) $\dfrac{x + 2}{x + 2} > 0{,}5$
ОДЗ: $x + 2 \neq 0$, тобто $x \neq -2$.
При $x \neq -2$ маємо $\dfrac{x + 2}{x + 2} = 1$.
$1 > 0{,}5$ — істинна для всіх $x$ з ОДЗ.
$x \in (-\infty;\,-2) \cup (-2;\,+\infty)$.
2) $\dfrac{x - 3}{x - 3} \leqslant 0{,}7$
ОДЗ: $x \neq 3$.
При $x \neq 3$ маємо $\dfrac{x - 3}{x - 3} = 1$.
$1 \leqslant 0{,}7$ — хибна. Розв'язків немає.
$x \in \varnothing$.
3) $\left(\dfrac{x + 1}{x}\right)^2 \geqslant 0$
ОДЗ: $x \neq 0$.
Квадрат будь-якого виразу $\geqslant 0$ — нерівність виконується для всіх $x$ з ОДЗ.
$x \in (-\infty;\,0) \cup (0;\,+\infty)$.
4) $\left(\dfrac{x + 1}{x}\right)^2 > 0$
ОДЗ: $x \neq 0$.
Квадрат строго додатний, коли вираз під ним не дорівнює нулю:
$\dfrac{x + 1}{x} \neq 0$; $x + 1 \neq 0$; $x \neq -1$.
Разом з ОДЗ: $x \neq 0$ і $x \neq -1$.
$x \in (-\infty;\,-1) \cup (-1;\,0) \cup (0;\,+\infty)$.
5) $\dfrac{(x + 3)^2}{x} > 0$
ОДЗ: $x \neq 0$.
$(x + 3)^2 \geqslant 0$ завжди; $(x + 3)^2 = 0$ при $x = -3$.
Дріб строго додатний, коли чисельник $> 0$ і знаменник $> 0$:
$x + 3 \neq 0$ і $x > 0$, тобто $x \neq -3$ і $x > 0$.
Оскільки $-3 < 0$, обмеження $x \neq -3$ автоматично виконується.
$x \in (0;\,+\infty)$.
6) $\dfrac{(x - 1)^2}{x} \leqslant 0$
ОДЗ: $x \neq 0$.
$(x - 1)^2 \geqslant 0$ завжди. Дріб $\leqslant 0$ у двох випадках:
а) чисельник $= 0$: $x = 1$, тоді дріб $= 0$ — підходить;
б) чисельник $> 0$ і знаменник $< 0$: $x \neq 1$ і $x < 0$ — підходить.
Об'єднуємо: $x < 0$ або $x = 1$.
$x \in (-\infty;\,0) \cup \{1\}$.
Область допустимих значень (ОДЗ)
Усі значення змінної, при яких вираз має сенс. Для дробу — знаменник не дорівнює нулю.
В нерівностях з дробами ОДЗ обов'язково виписуємо ще до перетворень — інакше можна забути виключити «заборонену» точку.
Скорочення $\dfrac{A}{A}$
$\dfrac{A}{A} = 1$ за умови $A \neq 0$.
У точці, де $A = 0$, дріб не визначений.
Знак квадрата
$B^2 \geqslant 0$ для будь-якого $B$, причому $B^2 = 0$ лише при $B = 0$.
$B^2 > 0$ виконується тоді і тільки тоді, коли $B \neq 0$.
Знак дробу
$\dfrac{A}{B} > 0$ ⟺ $A$ і $B$ одного знака (обидва $> 0$ або обидва $< 0$).
$\dfrac{A}{B} < 0$ ⟺ $A$ і $B$ різних знаків.
$\dfrac{A}{B} = 0$ ⟺ $A = 0$ і $B \neq 0$.
Дріб з квадратом у чисельнику
Чисельник $(x - a)^2 \geqslant 0$ завжди. Тому знак дробу $\dfrac{(x - a)^2}{B}$ збігається зі знаком $B$ (крім точки $x = a$, де дріб дорівнює нулю).
Порожня множина і одна точка
$\varnothing$ — позначення порожньої множини, коли розв'язків немає.
$\{a\}$ — множина з одного числа $a$ (одне значення-розв'язок).
Особливість цієї вправи. На вигляд тут «складні» дробові нерівності, але насправді кожна зводиться до простого спостереження. У (1) і (2) — дріб $\dfrac{A}{A} = 1$. У (3)-(6) — квадрат у чисельнику завжди невід'ємний, тому знак дробу визначається лише знаменником. Не треба зводити до спільного знаменника, не треба методу інтервалів — потрібен лише уважний аналіз.
(1) vs (2): однакова форма, різні відповіді. У (1) маємо $1 > 0{,}5$ — справді так, тому підходять усі $x$ з ОДЗ. У (2) маємо $1 \leqslant 0{,}7$ — це неправда, тому розв'язків немає. Структура та сама, але результат повністю інший — все залежить від правої частини.
(3) vs (4): нестрога і строга. Це ключова пара для розуміння. У (3) $\geqslant 0$ — нуль теж підходить, а оскільки квадрат завжди $\geqslant 0$, обмеження лише з ОДЗ ($x \neq 0$). У (4) $> 0$ — нуль не підходить, тому ще додатково виключаємо точку, де вираз під квадратом дорівнює нулю ($x = -1$). Завжди дивись на знак нерівності уважно: $\geqslant$ і $>$ дають різні відповіді.
(5): чому виключення $x = -3$ «зайве». Здавалося б, треба окремо виключити точку, де чисельник дорівнює нулю. Але в (5) нерівність строга ($> 0$), а $x = -3$ дав би $0 > 0$ — хибно. При цьому $-3 < 0$, тобто вже знаходиться поза проміжком $(0; +\infty)$. Тож точка $x = -3$ просто не потрапляє у відповідь — окремо виключати не треба.
(6): пастка з «$\leqslant$» і точкою-розв'язком. При $x = 1$ чисельник $= 0$, тому дріб дорівнює $0$. Нерівність $0 \leqslant 0$ — справді, тому $x = 1$ входить у відповідь. Це окрема ізольована точка, тому записуємо її в фігурних дужках $\{1\}$. Якби в нерівності було $< 0$ (строга), точка $x = 1$ не входила б — дріб дорівнював би нулю, а не був би строго менший за нуль.
Перевірка через підстановку. Бери число з відповіді й перевіряй. У (4) візьми $x = 2$: $\left(\dfrac{3}{2}\right)^2 = 2{,}25 > 0$ ✓. Візьми $x = -1$ (виключене): $\left(\dfrac{0}{-1}\right)^2 = 0 > 0$ — хибно, тому $-1$ і не входить у відповідь. Усе сходиться.
Часті помилки. 1) Забути ОДЗ і дати відповідь «усі $x$» там, де треба виключити нуль знаменника. 2) Не помітити різниці між $\geqslant$ і $>$ — отримати неправильний набір. 3) У (6) пропустити ізольовану точку $x = 1$. 4) У (5) написати дві умови «$x \neq -3$ і $x > 0$» окремо у відповіді — досить однієї.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.