Вправа 4.18 — ГДЗ Алгебра 9 клас Істер
Вправа 4.18. Побудуйте графік рівняння $|x - y| = 3$.
Для побудови графіка скористаємося означенням модуля. Рівняння $|A| = 3$ рівносильне сукупності двох рівнянь: $A = 3$ або $A = -3$.
Оскільки вираз під знаком модуля — це $x - y$, маємо два випадки:
1) Перший випадок: $x - y = 3$
Виразимо змінну $y$ через $x$:
${-y} = -x + 3$;
$y = x - 3$.
Графіком цієї функції є пряма. Для її побудови знайдемо дві точки:
- Якщо $x = 0$, то $y = 0 - 3 = -3$ $\implies (0; -3)$;
- Якщо $x = 3$, то $y = 3 - 3 = 0$ $\implies (3; 0)$.
2) Другий випадок: $x - y = -3$
Виразимо змінну $y$ через $x$:
${-y} = -x - 3$;
$y = x + 3$.
Графіком цієї функції також є пряма. Знайдемо дві точки для її побудови:
- Якщо $x = 0$, то $y = 0 + 3 = 3$ $\implies (0; 3)$;
- Якщо $x = -3$, то $y = -3 + 3 = 0$ $\implies (-3; 0)$.
Висновок і побудова графіка
Графік початкового рівняння складається з двох паралельних прямих. Об'єднаємо їх на одній координатній площині.
Рівняння: $|x - y| = 3$
Складові графіки:
1) Пряма $y = x - 3$
Точки: $(0;-3)$, $(3;0)$
2) Пряма $y = x + 3$
Точки: $(0;3)$, $(-3;0)$
Властивість: прямі паралельні, кутовий коефіцієнт $k = 1$
Розкриття модуля за числом
Рівняння виду $|f(x; y)| = a$ (де $a > 0$) розпадається на два окремих рівняння: $f(x; y) = a$ та $f(x; y) = -a$. Графік такого рівняння завжди об'єднує в собі графіки обох цих виразів.
Побудова лінійної функції
Рівняння виду $y = kx + b$ задає пряму лінію. Оскільки через дві точки можна провести єдину пряму, для її побудови на координатній площині достатньо знайти лише дві пари значень $(x; y)$.
Паралельність прямих
Якщо дві лінійні функції мають однакові кутові коефіцієнти ($k_1 = k_2$), їхні графіки є паралельними прямими. У нашому випадку для обох прямих $k = 1$, тому вони ніколи не перетнуться.
Головна фішка рівнянь з модулем. Наявність модуля навколо виразу зі змінними часто лякає учнів, але тут діє просте правило: модуль «роздвоює» графік. Замість однієї лінії ми отримуємо дві. Головне — не забути намалювати обидві прямі на одній координатній сітці, адже вони разом утворюють один єдиний графік цього рівняння.
Чому прямі паралельні? Коли мы виразили $y$ в обох випадках, то отримали $y = 1x - 3$ та $y = 1x + 3$. Коефіцієнт біля $x$ в обох рівняннях дорівнює одиниці. Це означає, що обидві лінії нахилені до осі абсцис під однаковим кутом ($45^\circ$). Вони зміщені одна відносно одної по осі $y$: одна опущена на 3 одиниці вниз, а інша піднята на 3 одиниці вгору.
Геометричний зміст. Вираз $|x - y|$ на математичній мові означає відстань між точками $x$ та $y$. Рівняння $|x - y| = 3$ каже нам: «знайди всі точки на площині, у яких різниця між координатами за модулем дорівнює трьом». Саме тому ми маємо дві лінії, які ідеально віддалені від центральної осі $y = x$.
Часті помилки учнів: 1) Гублять один із випадків (зазвичай з мінусом) і малюють лише одну пряму. 2) Неправильно переносять доданки та плутають знаки мінус під час вираження $y$. 3) Малюють графіки на різних координатних площинах, хоча це елементи одного завдання.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.