Вправа 5.15 — ГДЗ Алгебра 9 клас Істер
Вправа 5.15. Чи належить проміжку $[2{,}5;\; 6{,}1)$ число:
- $\sqrt{5}$;
- $\sqrt{13}$;
- $\sqrt{15}$;
- $\sqrt{39}$?
Число $x$ належить $[2{,}5;\; 6{,}1)$, якщо $2{,}5 \leqslant x < 6{,}1$.
Оскільки коренева функція зростає, порівнюємо через квадрати: $2{,}5 = \sqrt{6{,}25}$, $6{,}1 = \sqrt{37{,}21}$.
Тобто умова: $6{,}25 \leqslant a < 37{,}21$, де $a$ — підкореневий вираз.
1) $\sqrt{5}$
$5 < 6{,}25$, тому $\sqrt{5} < 2{,}5$.
2) $\sqrt{13}$
$6{,}25 \leqslant 13 < 37{,}21$, тому $2{,}5 \leqslant \sqrt{13} < 6{,}1$.
3) $\sqrt{15}$
$6{,}25 \leqslant 15 < 37{,}21$, тому $2{,}5 \leqslant \sqrt{15} < 6{,}1$.
4) $\sqrt{39}$
$39 \geqslant 37{,}21$, тому $\sqrt{39} \geqslant 6{,}1$.
Числовий проміжок $[a;\, b)$
$x \in [a;\, b)$ означає $a \leqslant x < b$. Квадратна дужка — кінець включається, кругла — не включається.
Порівняння коренів
Якщо $a \geqslant 0$ і $b \geqslant 0$, то $\sqrt{a} < \sqrt{b} \Leftrightarrow a < b$.
Тому $\sqrt{a} \geqslant c \geqslant 0 \Leftrightarrow a \geqslant c^2$.
Чому зводимо до квадратів? Корені складно порівнювати безпосередньо — $\sqrt{13}$ не є «круглим» числом. Але $\sqrt{a} \geqslant 2{,}5$ рівносильно $a \geqslant 6{,}25$, бо корінь — зростаюча функція. Звести до квадратів швидше, ніж рахувати десяткові наближення.
Межі проміжку в квадратах: $2{,}5^2 = 6{,}25$; $6{,}1^2 = 37{,}21$. Тепер перевірка кожного числа — одне порівняння цілих чисел з дробом.
Підпункти 2 і 3 — обидва всередині. $13$ і $15$ обидва між $6{,}25$ і $37{,}21$. Підпункт 1 ($5 < 6{,}25$) і підпункт 4 ($39 > 37{,}21$) — обидва поза.
Зверни увагу на тип проміжку: права межа кругла, тобто $6{,}1$ не входить. Якби було $\sqrt{37{,}21}$, то відповідь була б «не належить». Тут $\sqrt{39} \approx 6{,}24 > 6{,}1$ — поза в будь-якому випадку.
Часті помилки. 1) Забути, що $[a;\,b)$ — права межа НЕ включається, і написати «належить» для рівності правій. 2) Рахувати наближення вручну з похибкою замість точного порівняння квадратів.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.