Вправа 5.28 — ГДЗ Алгебра 9 клас Істер

Умова

Вправа 5.28. Розв'яжіть рівняння:

$\dfrac{x^2 + x + 2}{3x^2 + 5x - 14} = \dfrac{x^2 + x + 6}{3x^2 + 5x - 10}$.

Розв'язання

Перехресне множення:

$(x^2+x+2)(3x^2+5x-10) = (x^2+x+6)(3x^2+5x-14)$.

Позначимо $t = x^2+x$, $\ a = 3x^2+5x$. Тоді:

$(t+2)(a-10) = (t+6)(a-14)$;

$ta - 10t + 2a - 20 = ta - 14t + 6a - 84$;

$4t - 4a = -64$;

$t - a = -16$;

$(x^2+x) - (3x^2+5x) = -16$;

$-2x^2 - 4x = -16$;

$x^2 + 2x - 8 = 0$;

$(x+4)(x-2) = 0$;

$x = -4$ або $x = 2$.

ОДЗ: при $x=-4$: знаменники $14 \neq 0$ і $18 \neq 0$; при $x=2$: $8 \neq 0$ і $12 \neq 0$ — обидва підходять.

Відповідь

$x = -4$; $\ x = 2$.

Основна властивість пропорції

$\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} \Rightarrow ad = bc$ (при $b \neq 0$, $d \neq 0$).

Розкладання на множники

$x^2+2x-8 = (x+4)(x-2)$.

Ключова ідея. Після перехресного множення в обох частинах є добуток $ta$. Він скорочується, і рівняння різко спрощується до лінійного відносно $t-a$.

Без заміни теж можна: розкрити всі дужки, але вийде громіздко. Заміна $t = x^2+x$ заощаджує час.

ОДЗ обов'язково перевіряти — знаменники $3x^2+5x-14$ і $3x^2+5x-10$ не повинні обертатися на нуль. Тут обидва кореня проходять перевірку.