Вправа 6.16 — ГДЗ Алгебра 9 клас Істер
Вправа 6.16. Розв'яжіть нерівність:
- $1 + 2x > 7$;
- $3 - 5x \leqslant 2$;
- $3x + 8 < 0$;
- $9 - 12x \geqslant 0$.
1) $1 + 2x > 7$
$2x > 6$; ділимо на $2 > 0$ — знак не змінюється: $x > 3$.
2) $3 - 5x \leqslant 2$
$-5x \leqslant -1$; ділимо на $-5 < 0$ — знак змінюємо: $x \geqslant \dfrac{1}{5}$.
3) $3x + 8 < 0$
$3x < -8$; ділимо на $3 > 0$ — знак не змінюється: $x < -\dfrac{8}{3}$.
4) $9 - 12x \geqslant 0$
$-12x \geqslant -9$; ділимо на $-12 < 0$ — знак змінюємо: $x \leqslant \dfrac{3}{4}$.
Властивості нерівностей
1) Можна переносити доданок з однієї частини в іншу, змінивши знак цього доданка.
2) Множити або ділити обидві частини на додатне число — знак нерівності зберігається.
3) Множити або ділити на від'ємне — знак нерівності змінюється на протилежний.
Зображення розв'язку на числовій прямій
Строга нерівність ($<$, $>$) — гранична точка порожня ○, у проміжку дужка кругла $($.
Нестрога нерівність ($\leqslant$, $\geqslant$) — гранична точка зафарбована ●, дужка квадратна $[$.
Штриховка йде в той бік, куди показує знак: $>$, $\geqslant$ — праворуч; $<$, $\leqslant$ — ліворуч.
Запис відповіді через числовий проміжок
$x > a$ ⇒ $x \in (a;\,+\infty)$.
$x \geqslant a$ ⇒ $x \in [a;\,+\infty)$.
$x < a$ ⇒ $x \in (-\infty;\,a)$.
$x \leqslant a$ ⇒ $x \in (-\infty;\,a]$.
Біля $\pm\infty$ дужка завжди кругла.
Алгоритм для лінійної нерівності
1) Перенести всі $x$ в один бік, числа — в інший. 2) Звести подібні. 3) Поділити обидві частини на коефіцієнт біля $x$ (не забути змінити знак, якщо коефіцієнт від'ємний). 4) Записати відповідь у вигляді проміжку, зобразити на числовій прямій.
Чому при діленні на від'ємне знак змінюється? Уяви $2 < 5$. Помнож обидві частини на $-1$: $-2$ та $-5$. Зрозуміло, що $-2 > -5$ — нерівність «перевернулась». Якщо би залишили старий знак, отримали б невірне $-2 < -5$. Те саме з діленням.
Як уникнути зайвої роботи з мінусом. У пункті (2) можна спочатку перенести $x$ в інший бік, а число — в наш, щоб уникнути від'ємного коефіцієнта: $3 - 5x \leqslant 2$ ⇒ $3 - 2 \leqslant 5x$ ⇒ $1 \leqslant 5x$ ⇒ $x \geqslant \dfrac{1}{5}$. Жодного перевертання знаків.
Перевірка відповіді. Підстав будь-яке число з відповіді. Наприклад, у (1) ми отримали $x > 3$. Беремо $x = 4$: $1 + 8 = 9 > 7$ ✓. Беремо число поза відповіддю: $x = 0$: $1 + 0 = 1 > 7$? Ні. Усе сходиться.
Часті помилки. 1) Забути змінити знак при діленні на від'ємне. 2) Поплутати порожню і зафарбовану точку (строга/нестрога). 3) Записати відповідь з квадратною дужкою біля нескінченності — біля $\infty$ завжди кругла. 4) При перенесенні забути змінити знак доданка.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.