Вправа 6.49 — ГДЗ Алгебра 9 клас Істер
Вправа 6.49. Доведіть, що значення виразу
$\left(\dfrac{1}{a^2 - 4a + 4} + \dfrac{1}{a^2 - 4}\right) : \dfrac{2}{(a-2)^2} - \dfrac{a}{a+2}$
не залежить від значення змінної.
Розкладемо знаменники:
$a^2 - 4a + 4 = (a-2)^2$; $a^2 - 4 = (a-2)(a+2)$.
Зводимо дріб у дужках до спільного знаменника $(a-2)^2(a+2)$:
$\dfrac{1}{(a-2)^2} + \dfrac{1}{(a-2)(a+2)} =$
$= \dfrac{a+2}{(a-2)^2(a+2)} + \dfrac{a-2}{(a-2)^2(a+2)} =$
$= \dfrac{(a+2)+(a-2)}{(a-2)^2(a+2)} = \dfrac{2a}{(a-2)^2(a+2)}$.
Ділимо на $\dfrac{2}{(a-2)^2}$:
$\dfrac{2a}{(a-2)^2(a+2)} \cdot \dfrac{(a-2)^2}{2} = \dfrac{a}{a+2}$.
Підставляємо у вихідний вираз:
$\dfrac{a}{a+2} - \dfrac{a}{a+2} = 0$.
Значення виразу дорівнює $0$ при будь-якому допустимому $a$ — не залежить від $a$. ∎
Ділення дробу на дріб
$\dfrac{A}{B} : \dfrac{C}{D} = \dfrac{A}{B} \cdot \dfrac{D}{C}$.
Розкладання на множники
$a^2 - 4a + 4 = (a-2)^2$.
$a^2 - 4 = (a-2)(a+2)$.
Стратегія доведення. Спростити вираз до числової константи. Тут вийшло $0$ — найпростіший випадок.
ОДЗ: $a \neq 2$ і $a \neq -2$ (знаменники не нулі).
Ключовий крок — побачити $(a+2)+(a-2) = 2a$ у чисельнику після зведення до спільного знаменника. Це спрощує вираз до $\dfrac{a}{a+2}$, яке миттєво скорочується з останнім доданком.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.